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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Edi1982 |
| Aufgabe | Hallo Leute.
Ich habe folgende Aufgabe bis Freitag zu lösen und weiß nicht wie:
Für [mm] a\ge [/mm] 1 sei rekursiv die Folge [mm] (a_n) [/mm] reeller Zahlen durch
[mm] a_1 [/mm] := a,
[mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] 2-\bruch{1}{a_n}
[/mm]
definiert.
z.Z.:
a) Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist wohldefiniert, d.h. die obige Rekursion ist für alle [mm] n\in \IN [/mm] sinnvoll. Die Folge ist monoton fallend und beschränkt.
b) Die Folge [mm] (a_n) [/mm] ist konvergent und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = 1. |
Also ich habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Das wäre nett.
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> Für [mm]a\ge[/mm] 1 sei rekursiv die Folge [mm](a_n)[/mm] reeller Zahlen
> durch
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> [mm]a_1[/mm] := a,
> [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]2-\bruch{1}{a_n}[/mm]
> definiert.
>
> z.Z.:
> a) Die Folge [mm](a_n)[/mm] ist wohldefiniert, d.h. die obige
> Rekursion ist für alle [mm]n\in \IN[/mm] sinnvoll. Die Folge ist
> monoton fallend und beschränkt.
Hallo,
wann wäre die Rekursion nicht sinnvoll? Wenn irgendwann ein Folgenglied =0 wäre. Das dies nicht der Fall ist, mußt Du zeigen.
Du kannst es gleichzeitig mit der Beschränktheit nach unten zeigen.
Zeig, daß [mm] a_n \ge [/mm] 1. (induktion)
Monoton fallend:
zeige, daß [mm] a_n-a_{n+1}>0.
[/mm]
>
> b) Die Folge [mm](a_n)[/mm] ist konvergent und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] = 1.
> Also ich habe keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen
> soll.
Daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen einen (noch unbekannten) Grenzwert G, ergibt sich aus a.
[mm] a_n [/mm] ---> G
[mm] a_{n+1}---> [/mm] ?
[mm] \bruch{1}{a_n}----> [/mm] ?
[mm] 2-\bruch{1}{a_n} [/mm] ----->?
Also ist ...=... ==> G=...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Fr 08.12.2006 | | Autor: | Edi1982 |
| Aufgabe | | Kann mir jemand den letzen Schritt bei der Aufgabe mit dem Grenzwert nochmal erklären? |
Das wäre nett 
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Hallo,
wie gesagt, am Ende von a) weißt Du, daß die Folge konvergiert.
Den Grenzwert kennen wir nicht, sein Name sei vorläufig G.
Also ist
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=G.
[/mm]
Nun beantworte zunächst folgende Fragen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{a_n}=... [/mm] (da Du gezeigt hast, daß [mm] a_n \ge [/mm] 1, kannst du das mit dem Kehrwert gefahrlos machen.)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2-\bruch{1}{a_n})=...
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=...
[/mm]
Wenn Du das hast, überlege Dir folgendes:
es ist [mm] a_{n+1}=2-\bruch{1}{a_n}.
[/mm]
Also sind auch die Grenzwerte gleich, d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2-\bruch{1}{a_n}).
[/mm]
Hieraus kannst Du dann G errechnen.
Gruß v. Angela
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