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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 So 22.05.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Wenn man eine unendliche Folge von Zahlen a1,a2,a3,a4... hat und dazu die Differenzenfolge b1,b2,b3,b4,b5 bildet, wobei bn=ai-ai+1 ist, dann gilt für die Summe der bi: [mm] \summe_{i=1}^{n}bi=a1-a_{i+1} [/mm] . Weisen sie dies nach |
Hallo. Also ich hab einfach mal Zahlen eingesetz für die Summe von bi und einmal für a1-an+1 aber der letzte sinkt der Wert immer um eine negative Zahl und beim ersten wird der Wert -1 aufaddiert....hab ich etwas falsch verstanden? Für mich sah das auch ein bischen nach induktion aus..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 So 22.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Schreib die Summe der ersten und der letzten Teilglieder mal aus.
Also:
[mm] \sum_{i=1}^{n}b_{i}
[/mm]
[mm] =b_{1}+b_{2}+b_{3}+\ldots+b_{n-2}+b_{n-1}+b_{n}
[/mm]
[mm] =\underbrace{a_{1}-a_{2}}_{b_{1}}+\underbrace{a_{2}-a_{3}}_{b_{2}}+\underbrace{a_{3}-a_{4}}_{b_{3}}+\ldots+\underbrace{a_{n-2}-a_{n-1}}_{b_{n-2}}+\underbrace{a_{n-1}-a_{n}}_{b_{n-1}}+\underbrace{a_{n}-a_{n+1}}_{b_{n}}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 So 22.05.2011 | | Autor: | durden88 |
Ok hab ich, ich hab bei der zweiten dann das a1 ausgeklammert....soll ich das bei der ersten Folge, wie du sie beschrieben hast auch machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 So 22.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Warum ausklammern?
Du hast.
[mm] =a_{1}-a_{2}+a_{2}-a_{3}+a_{3}-a_{4}+\ldots+a_{n-2}-a_{n-1}+a_{n-1}-a_{n}+a_{n}-a_{n+1}} [/mm]
Jetzt schau mal ganz genau hin, was davon noch übrig bleibt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 22.05.2011 | | Autor: | durden88 |
aahhh, bis auf das erste glied und das letzte kürzst sich alles bis aufs weitere weg nicht? Vielen lieben Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 So 22.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
> aahhh, bis auf das erste glied und das letzte kürzst sich
> alles bis aufs weitere weg nicht? Vielen lieben Dank
>
Yep. Genau das passiert. Das kanze nenne man auch Teleskopsumme.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 22.05.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Die in der ersten Aufgabe dargestellte Idee hat Leibniz benutzt, um die (unendliche) Summe der reziproken Dreieckszahlen zu berechnen, eine Aufgabe, die Huygens ihm 1674 gestellt hatte. Die Dreieckszahlen sollten Sie kennen, es handelt sich um die Zahlen 1, 3, 6, 10, [mm] …,\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] . Die Summe der reziproken Dreieckszahlen ist also [mm] \bruch{1}{1},\bruch{1}{3},\bruch{1}{6},\bruch{1}{10}... [/mm] . Der Wert dieser unendlichen Summe kann aus dem harmonischen Dreieck unmittelbar abgelesen werden, Sie brauchen nur die Folge der reziproken Dreieckszahlen zu finden (Achtung, sie sind etwas versteckt) und die zugehörige Folge deren Differenzenfolge die reziproken Dreieckszahlen sind. |
Also die reziproke Dreieckszahlen habe ich beim harmonischen Dreieck gefunden, es ist am Rand dann die erste, dann die dritte, Sechste, Zehnte usw...kann mir einer nen Tipp geben, wie ich weiter vorgehen sollte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 So 22.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau dir mal die Nenner an.
es gilt:
[mm] a_{\red{1}}=\frac{1}{1}=\frac{1}{\red{1}}
[/mm]
[mm] a_{\red{2}}=\frac{1}{3}=\frac{1}{1+\red{2}}
[/mm]
[mm] a_{\red{3}}=\frac{1}{6}=\frac{1}{1+2+\red{3}}
[/mm]
[mm] a_{\red{4}}=\frac{1}{10}=\frac{1}{1+2+3+\red{4}}
[/mm]
Erkennst du nu die Folgenvorschrift?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 22.05.2011 | | Autor: | durden88 |
ja, es ist dann nix anderes als [mm] \bruch{1}{\summe_{i=1}^{n}i}...?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 So 22.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Genau so. Und wenn du jetzt noch die ![[]](/images/popup.gif) Summenformel nutzt, wiurd das ganze noch schöner, weil das Summenzeichen verschweindet.
Marius
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