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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 So 14.11.2004 | | Autor: | Fry |
Hallo ;) !
Ich suche eine explizite Darstellung dieser Folge:
[mm] a_1 [/mm] = a, a>0 und [mm] a_n+1 [/mm] = [mm] 1/2*(a_n [/mm] + [mm] a/a_n)
[/mm]
Kann mir jemand helfen ? Ich kann irgendwie kein Muster erkennen..
Vielen Dank im Voraus :).
[mm] a_1=a
[/mm]
[mm] a_2=(a+1)/2
[/mm]
[mm] a_3=(a²+4a+1)/(4(a+1))
[/mm]
...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 So 14.11.2004 | | Autor: | Fry |
Hallo Hathorman !
Danke für deinen Einsatz :),
möglicherweise braucht man diese explizite Darstellung nicht. Es geht nämlich eigentlich darum, Monotonie, Beschränktheit und den Grenzwert sqrt(2) zu beweisen.
Bisher bin ich allerdings stets von einer expliziten Darstellung ausgegangen. Mit dieser rekursiven Schreibweise hab ich Probleme...
Vorschläge,wie das möglicherweise angehen könnte ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 So 14.11.2004 | | Autor: | Fry |
Hallo Hathorman !
Danke für deinen Einsatz :),
möglicherweise braucht man diese explizite Darstellung nicht. Es geht nämlich eigentlich darum, Monotonie, Beschränktheit und den Grenzwert sqrt(2) zu beweisen.
Bisher bin ich allerdings stets von einer expliziten Darstellung ausgegangen. Mit dieser rekursiven Schreibweise hab ich Probleme...
Vorschläge,wie das möglicherweise angehen könnte ?
*Update*
Habe einige Lösungen gefunden:
Grenzwert g:
g = 0,5*(g+a/g)
g = sqrt(2)
Beschränktheit:
b < [mm] a_n
[/mm]
=> b < [mm] a_n+1
[/mm]
=> b < [mm] 0,5*a_n [/mm] + [mm] 0,5*a/a_n
[/mm]
<=> 0 < [mm] 0,5*a_n^2 [/mm] + [mm] b*a_n [/mm] + 0,5*a
Die Aussage stimmt,da [mm] a_1=a [/mm] > 0 ist und die "Folgenvorschrift"
keine Subtraktion enthält.
Monotonie:
über vollständige Induktion:
[mm] a_n+1 [/mm] < [mm] a_n+2
[/mm]
Induktionsanfang n=1:
[mm] a_2 [/mm] = 0,5*(a+1)
[mm] a_3 [/mm] = 1/4*(a+1) + a/(a+1)
Es müsste also gelten:
0,5*(a+1) > 1/4*(a+1) + a/(a+1)
<=>....
<=> [mm] (a-1)^2 [/mm] > 0
Diese Aussage stimmt für alle a.
Induktionsschritt von n+1 -> n+2:
Habe in die Gleichung
[mm] a_n+1 [/mm] > [mm] a_n+2 [/mm] die Terme für [mm] a_n+1 [/mm] eingesetzt.
Mit Umformungen gelangt man dann zu:
[mm] (a_n [/mm] - [mm] a/a_n)² [/mm] > 0
Die Aussage stimmt für alle [mm] a_n [/mm] und a.
Ist denn eine richtige Induktion ?...habe gar keine Induktionsvoraussetzung gebraucht.
Gruß
Fry
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http://de.wikipedia.org/wiki/Heronverfahren
