Folgenkonvergenz nur für besti < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:57 So 22.04.2012 | | Autor: | Kenneth |
| Aufgabe | | ich muss untersuchen für welche Werte x [mm] \in\IR [/mm] die Folge [mm] \left(\sin(k^2x) \right)_{k\in \mathbb N } [/mm] konvergiert, und für welche sie divergiert. |
Offensichtlich ist [mm] \sin(k^2x)=0 \forall x\in \left\{ 0, -\pi, \pi, -2\pi, 2\pi, -3\pi, 3\pi, ...\right\} [/mm] , somit konvergiert die Folge für eben diese Werte gegen 0.
Wie zeige ich nun die Divergenz für die restlichen Werte. Habe schon ein paar Tricks mit Teilfolgen [mm] \sin((2k)^2x) [/mm] ausprobiert, hat aber alles nicht geklappt mit dem geplanten Widerspruchsbeweis.
Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=489524
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 So 22.04.2012 | | Autor: | Kenneth |
Es genügt mir eigentlich zu zeigen, dass diese Folge außer der angegebenen Werte NICHT gegen 0 konvergiert!
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Hallo,
im Falle der Konvergenz für [mm] x\ne{0} [/mm] müsste ja die Schrittweite der Folge
[mm] b_k=k^2
[/mm]
entweder gegen 0 oder gegen Vielfache von [mm] 2\pi [/mm] streben. Vielleicht bekommst du damit irgendwie einen Widerspruchsbeweis hin, denn zumindest den ersten Fall kann man ja unmittelbar ausschließen.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:47 Di 24.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich muss untersuchen für welche Werte x [mm]\in\IR[/mm] die Folge
> [mm]\left(\sin(k^2x) \right)_{k\in \mathbb N }[/mm] konvergiert, und
> für welche sie divergiert.
> Offensichtlich ist [mm]\sin(k^2x)=0 \forall x\in \left\{ 0, -\pi, \pi, -2\pi, 2\pi, -3\pi, 3\pi, ...\right\}[/mm]
> , somit konvergiert die Folge für eben diese Werte gegen
> 0.
>
> Wie zeige ich nun die Divergenz für die restlichen Werte.
> Habe schon ein paar Tricks mit Teilfolgen [mm]\sin((2k)^2x)[/mm]
> ausprobiert, hat aber alles nicht geklappt mit dem
> geplanten Widerspruchsbeweis.
> Hat vielleicht jemand einen Tipp für mich?
eine kurze Überlegung meinerseits war jedenfalls:
Wenn [mm] $(\sin(k^2x))_k$ [/mm] konvergent, dann auch [mm] $(\sin((mk)^2x))_k$ [/mm] für jedes $m [mm] \in \IN$ [/mm] und beide konvergieren dann gegen den gleichen Grenzwert. (Teilfolge!)
Mit Addtionstheoremen und trig. Pyth. (oder auch nur mit de Moivre) folgt dann, dass die Folge nur gegen [mm] $0\,$ [/mm] konvergieren kann - insbesondere konvergiert dann [mm] $(\cos(k^2x))_k$ [/mm] gegen [mm] $1\,.$ [/mm] Ob das weiter verwendbar ist, weiß ich nicht.
Eine andere Idee war es, den MWS auf [mm] $f_x(k)=\sin(k^2x)$ [/mm] anzuwenden - aber auch da weiß ich nicht, ob's im Endeffekt was bringt. Aber auf jeden Fall ist der obige erste Teil schonmal eine kleine Hilfe, der andere liefert vielleicht eine ausbaubare Idee 
Gruß,
Marcel
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