Folgenraum nicht separabel < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Sa 02.10.2010 | | Autor: | Amande |
Hey ihr :)
Ich versuche gerade zu zeigen bzw. den Beweis zu verstehen, dass der Folgenraum der beschränkten Folgen [mm]l^{\infty}=\{(x_k): \summe_{k=1}^{\infty} |x_k| < \infty\}[/mm][mm] [/mm][mm][/mm]nicht separabel ist.
Angenommen [mm]l^\infty[/mm] wäre separabel, dann existiert eine abzählbare dichte Teilmenge [mm]\{a_n:n \in \IN\}[/mm]
Für den Beweis verwendet man die Potenzmenge [mm]\IP(\IN)=\{M\subset\IN\}[/mm] und betrachtet die charakteristische Funktion: [mm]\chi_M (n) =\begin{cases} 1, & \mbox{fuer } n \in M \\
0, & sonst \end{cases}[/mm]
Dann wird behauptet: In der 1/4-Umgebung jedes [mm]a_n[/mm]liegt höchstens ein [mm]\chi_M (n)[/mm] drin.
(Da der Abstand zwischen [mm]\chi_M (n)[/mm] und [mm]\chi_N (n)[/mm] für zwei Elemente M,N der Potenzmenge in der Supremumsnorm 1 ist, lässt sich diese Behauptung leicht beweisen.)
Mir ist jedoch nicht klar, was mir diese Behauptung bringt, wenn ich die Separabilität von [mm]l^\infty[/mm] zeigen will. Wo ist da der Zusammenhang?
Irgendwo hab ich noch gelesen, dass [mm]l^\infty = \bigcup \bruch{1}{4}-Umgebungen(a_n)[/mm][mm][/mm] gilt. Das hilft mir allerdings auch nicht viel weiter..
Vielleicht kann mir jemand beim Verstehen helfen?
Das wär klasse :)
Grüße,
Mandy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Sa 02.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich versuche gerade zu zeigen bzw. den Beweis zu verstehen,
> dass der Folgenraum der beschränkten Folgen
> [mm]l^{\infty}=\{(x_k): \summe_{k=1}^{\infty} |x_k| < \infty\}[/mm][mm] [/mm][mm][/mm]nicht
> separabel ist.
Diese Menge ist aber nicht [mm] $\ell^\infty$, [/mm] sondern [mm] $\ell^1$. [/mm] Du meinst aber schon [mm] $\ell^\infty$, [/mm] oder?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:53 Sa 02.10.2010 | | Autor: | Amande |
Sorry - ja, mein [mm]l^\infty=\{x: sup|x_i|< \infty\} [/mm] die beschränkten Folgen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 So 03.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hey ihr :)
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> Ich versuche gerade zu zeigen bzw. den Beweis zu verstehen,
> dass der Folgenraum der beschränkten Folgen
> [mm]l^{\infty}=\{(x_k): \summe_{k=1}^{\infty} |x_k| < \infty\}[/mm][mm] [/mm][mm][/mm]nicht
> separabel ist.
>
>
> Angenommen [mm]l^\infty[/mm] wäre separabel, dann existiert eine
> abzählbare dichte Teilmenge [mm]\{a_n:n \in \IN\}[/mm]
>
>
>
> Für den Beweis verwendet man die Potenzmenge
> [mm]\IP(\IN)=\{M\subset\IN\}[/mm] und betrachtet die
> charakteristische Funktion: [mm]\chi_M (n) =\begin{cases} 1, & \mbox{fuer } n \in M \\
0, & sonst \end{cases}[/mm]
>
> Dann wird behauptet: In der 1/4-Umgebung jedes [mm]a_n[/mm]liegt
> höchstens ein [mm]\chi_M (n)[/mm] drin.
> (Da der Abstand zwischen [mm]\chi_M (n)[/mm] und [mm]\chi_N (n)[/mm] für
> zwei Elemente M,N der Potenzmenge in der Supremumsnorm 1
> ist, lässt sich diese Behauptung leicht beweisen.)
>
> Mir ist jedoch nicht klar, was mir diese Behauptung bringt,
> wenn ich die Separabilität von [mm]l^\infty[/mm] zeigen will. Wo
> ist da der Zusammenhang?
>
> Irgendwo hab ich noch gelesen, dass [mm]l^\infty = \bigcup \bruch{1}{4}-Umgebungen(a_n)[/mm][mm][/mm]
> gilt. Das hilft mir allerdings auch nicht viel weiter..
Doch das hilft. Da $ [mm] \{a_n:n \in \IN\} [/mm] $ dicht liegt, lässt sich [mm] l^\infty [/mm] wie oben darstellen.
Dir ist sicherbekannt, dass [mm] \IP(\IN) [/mm] eine größere Mächtigkeit hat als [mm] \IN
[/mm]
Weiter hat hat [mm] \{\chi_M: M \in \IP(\IN) \} [/mm] die gleiche Mächtigkeit wie [mm] \IP(\IN)
[/mm]
Wegen [mm]\{\chi_M: M \in \IP(\IN) \} \subseteq l^\infty = \bigcup \bruch{1}{4}-Umgebungen(a_n)[/mm][mm][/mm]
hat [mm] \{\chi_M: M \in \IP(\IN) \} [/mm] aber höchstens die Mächtigkeit von [mm] \IN
[/mm]
Widerspruch
FRED
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> Vielleicht kann mir jemand beim Verstehen helfen?
> Das wär klasse :)
>
> Grüße,
> Mandy
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mo 04.10.2010 | | Autor: | Amande |
Guten Abend!
Danke schonmal für die schnelle Antwort - hat mich schon ein ganzen Stück weitergebracht :)
Was mir jetzt allerdings noch nicht ganz klar ist, ist: wie kann ich [mm]\chi_M[/mm] als Folge in [mm]l^\infty[/mm] betrachten? Sieht die Folge z.B. so aus:
[mm]M=\{1,2,3\}
[/mm] [mm]\chi_M=(\chi_M(1),\chi_M(2),\chi_M(3),\chi_M(4),....)=(1,1,1,0,0,0)[/mm]
Und noch eine kleine Frage:
Wie kann ich die Gleichheit von [mm]l^\infty =\bigcup_{}^{} \bruch{1}{4}-Umgebungen [/mm] zeigen?
Danke + einen schönen Abend!
Mandy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Di 05.10.2010 | | Autor: | fred97 |
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> Guten Abend!
>
> Danke schonmal für die schnelle Antwort - hat mich schon
> ein ganzen Stück weitergebracht :)
>
> Was mir jetzt allerdings noch nicht ganz klar ist, ist: wie
> kann ich [mm]\chi_M[/mm] als Folge in [mm]l^\infty[/mm] betrachten? Sieht die
> Folge z.B. so aus:
> [mm]M=\{1,2,3\}
[/mm]
> [mm]\chi_M=(\chi_M(1),\chi_M(2),\chi_M(3),\chi_M(4),....)=(1,1,1,0,0,0)[/mm]
Genau !
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>
> Und noch eine kleine Frage:
> Wie kann ich die Gleichheit von [mm]l^\infty =\bigcup_{}^{} \bruch{1}{4}-Umgebungen[/mm]
> zeigen?
Machen wirs allgemein:
Sei )(X,d) ein metrischer Raum und $D:= [mm] \{a_n:n \in \IN\} [/mm] $ eine Teilmenge von X, die dicht in X liegt.
Was heißt das ?
Es bedeutet: ist x [mm] \in [/mm] X und [mm] \varepsilon> [/mm] 0, so gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit : [mm] d(x,a_m)< \varepsilon.
[/mm]
Ist z.B. [mm] \varepsilon=1/4, [/mm] so liegt x in der 1/4 _ Umgebung von [mm] a_n
[/mm]
FRED
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> Danke + einen schönen Abend!
> Mandy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:26 Mo 04.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Obiges kann man wie folgt verallgemeinern:
Sei(X,d) ein metrischer Raum und Y eine Teilmenge von X mit der Eigenschaft:
(1) d(a,b)=1 für alle a,b [mm] \in [/mm] Y mit a [mm] \ne [/mm] b.
Sei nun X separabel, somit ex. eine Folge [mm] (x_n) [/mm] in X mit
(2) [mm] \overline{ \{x_n: n \in \IN \} }=X.
[/mm]
Für n [mm] \in \IN [/mm] bez. wir mit [mm] U_n [/mm] die Menge [mm] $U_n:= \{x \in X: d(x,x_n) <1/4 \}$. [/mm] Wegen (2) gilt
(3) $Y [mm] \subseteq [/mm] X= [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}U_n$.
[/mm]
Seien nun a,b [mm] \in [/mm] Y mit a,b [mm] \in U_n. [/mm] Dann
$d(a,b) [mm] \le d(a,x_n)+d(x_n, [/mm] b) < 1/4+1/4=1/2$.
Aus (1) folgt a=b.
Jedes [mm] U_n [/mm] enthält also höchstens ein Element aus Y. Aus (3) folgt dann:
Y ist höchstens abzählbar.
Enthält also ein metr. Raum eine überabzählbare Teilmenge mit der Eig. (1), so kann dieser metr. Raum nicht separabel sein.
FRED
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