Folgenstetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 So 10.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases} [/mm] in allen Punkten außer in x=0 folgenstetig ist. |
Hallo zusammen,
ich habe die Aufgabe meiner Meinung nach verstanden und mit Worten gelöst, weiß aber nicht, wie man das mathematisch hinschreiben kann und ob das oberhaupt so richtig ist. Außerdem habe ich für diese Aufgabe eine (mathematische) Lösung, die ich aber nicht ganz 100 Prozentig nachvollziehen kann:
Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass für jede Folge, die gegen jeden beliebigen Wert außer 0 konvergiert, gilt, dass der Grenzwert der Folge der Funktionswerte, wenn man die einzelnen Folgenglieder der jeweiligen Folge in die Funktion einsetzt, gegen den gleichen Wert konvergiert wie die Folge selbst, also dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f(a_n) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_n)_{n \in \IN} [/mm] gilt . (Das ist die mit meinen eigenen Worten beschriebene Definition aus dem Skript; ich hoffe, ich habe das so richtig verstanden?)
Man eigener Lösungsansatz ist:
Ich nehme an, dass eine beliebige Folge a: [mm] \IN \rightarrow \IR [/mm] gegen m:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_n)_{n \in \IN} [/mm] konvergiert. Das heißt, dass ab einem bestimmten [mm] N_0 \in \IN [/mm] für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt: [mm] |a_n [/mm] - m| < [mm] \varepsilon, \varepsilon [/mm] >0.
zu Zeigen ist, dass [mm] |f(a_n) [/mm] - f(m)| < [mm] \varepsilon [/mm] gilt.
Fall 1: m>0
f(m) = 1
=> zu Zeigen: [mm] |f(a_n) [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon. [/mm] Wenn die Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] gegen einen positiven Wert konvergiert, müssen fast alle Folgenglieder positiv sein.
Deswegen müssen fast alle Folgenglieder von [mm] (b_n)_{n \in \IN} [/mm] := [mm] (f(a_n))_{n \in \IN} [/mm] 1 sein müssen. Daraus folgt aber, dass die Folge der Funktionswerte [mm] (b_n)_{n \in \IN} [/mm] gegen 1 konvergiert. Dann gilt ja ab einem [mm] N_0 \in \IN [/mm] für alle n > [mm] N_0: |b_n [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon. [/mm] Das ist gleichbedeutend mit : [mm] |f(a_n) [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > [mm] N_0 [/mm] (da [mm] b_n [/mm] = [mm] f(a_n) [/mm] ). Und das ist ja genau das, was zu zeigen ist.
Fall 2: m<0
f(m)=0
zu Zeigen: [mm] |f(a_n) [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon. [/mm] Wenn die Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] gegen einen negativen Wert konvergiert, müssen sich fast alle ihre Folgenglieder in einer [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von diesem negativen Wert befinden, also müssen fast alle Folgenglieder von [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] negativ sein. Somit müssen fast alle Folgenglieder der Folge der Funktionswerte [mm] (b_n)_{n \in \IN} [/mm] := [mm] (f(a_n))_{n \in \IN}
[/mm]
0 sein. Deswegen konvergiert diese Folge gegen 0. => ab einem [mm] N_0 \in \IN [/mm] gilt: [mm] |b_n [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>N_0. [/mm] Das bedeutet wegen [mm] b_n [/mm] = [mm] f(a_n) [/mm] nichts anderes als: [mm] |f(a_n) [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > [mm] N_0, [/mm] was zu zeigen war.
Fall 3: m=0
Wenn die Folge [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] gegen 0 konvergiert, müssen sich fast alle ihre Folgenglieder [mm] a_n [/mm] in einer [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung um den Nullpunkt befinden, man weiß aber nicht, ob im positiven oder im negativen Bereich. Bzw. in beiden Bereichen, aber man weiß nicht, wo die meisten liegen.
=> Man weiß nicht, ob die Folge der Funktionswerte gegen 1 oder 0 konvergiert oder ob siee divergiert, weil man nicht weiß, ob fast alle Folgenglieder von [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] sich um positiven oder fast alle im negativen Bereich der [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung befinden oder sie so aufgeteilt sind, dass beides nicht gilt und die Folge [mm] b_n [/mm] somit divergiert.
Die mathematische Lösung aus meinem Skript ist folgende:
|
|
| |
|
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<0 \\ 1, & \mbox{für } x\ge0 \end{cases}[/mm]
> in allen Punkten außer in x=0 folgenstetig ist.
> Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass für jede Folge, die
> gegen jeden beliebigen Wert außer 0 konvergiert, gilt,
> dass der Grenzwert der Folge der Funktionswerte, wenn man
> die einzelnen Folgenglieder der jeweiligen Folge in die
> Funktion einsetzt, gegen den gleichen Wert konvergiert wie
> die Folge selbst, also dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (f(a_n)[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n)_{n \in \IN}[/mm]
> gilt . (Das ist die mit meinen eigenen Worten beschriebene
> Definition aus dem Skript; ich hoffe, ich habe das so
> richtig verstanden?)
Das ist falsch!
Denn wenn [mm] (a_{n})\to [/mm] x gilt, folgt daraus ja aus deiner Definition:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = x
Das heißt, du gibst unabhängig von dem Argument der Funktion an, dass der Wert x rauskommen soll!
Folgen wie [mm] \sin(x) [/mm] könnten in x = 2 nicht stetig sein, weil sie ja nie über den Funktionswert 1 hinauskommen, aber das nach Definition "schaffen" müssten!
Die richtige Definition lautet:
f stetig in [mm] x_{0} \gdw [/mm] Für jede Folge [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] (x_{n})\to x_{0} [/mm] gilt [mm] (f(x_{n})) \to f(x_{0}).
[/mm]
Interessanterweise hast du die aber unten benutzt. (?)
Dein Beweis verwendet die richtigen Grundideen und ist eigentlich schon ein Beweis, den man akzeptieren könnte. Es gibt nur einige Stellen, bei denen es etwas unübersichtlich wird:
> Man eigener Lösungsansatz ist:
> Ich nehme an, dass eine beliebige Folge a: [mm]\IN \rightarrow \IR[/mm]
> gegen m:= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n)_{n \in \IN}[/mm]
> konvergiert. Das heißt, dass ab einem bestimmten [mm]N_0 \in \IN[/mm]
> für alle [mm]n>N_0[/mm] gilt: [mm]|a_n[/mm] - m| < [mm]\varepsilon, \varepsilon[/mm]
> >0.
> zu Zeigen ist, dass [mm]|f(a_n)[/mm] - f(m)| < [mm]\varepsilon[/mm] gilt.
> Fall 1: m>0
> f(m) = 1
> => zu Zeigen: [mm]|f(a_n)[/mm] - 1| < [mm]\varepsilon.[/mm] Wenn die Folge
> [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] gegen einen positiven Wert konvergiert,
> müssen fast alle Folgenglieder positiv sein.
> Deswegen müssen fast alle Folgenglieder von [mm](b_n)_{n \in \IN}[/mm]
> := [mm](f(a_n))_{n \in \IN}[/mm] 1 sein müssen. Daraus folgt aber,
> dass die Folge der Funktionswerte [mm](b_n)_{n \in \IN}[/mm] gegen 1
> konvergiert. Dann gilt ja ab einem [mm]N_0 \in \IN[/mm] für alle n
> > [mm]N_0: |b_n[/mm] - 1| < [mm]\varepsilon.[/mm] Das ist gleichbedeutend mit :
> [mm]|f(a_n)[/mm] - 1| < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n > [mm]N_0[/mm] (da [mm]b_n[/mm] =
> [mm]f(a_n)[/mm] ). Und das ist ja genau das, was zu zeigen ist.
Die Definition von [mm] (b_{n}) [/mm] ist nicht notwendig, macht es nur komplizierter.
Außerdem solltest du noch mit der Definition deiner Funktion argumentieren, wenn du mit Einsen und Nullen hantierst. (Ich meine zum Beispiel an der Stelle:
"Deswegen müssen fast alle Folgenglieder von [mm](b_n)_{n \in \IN}[/mm]
> := [mm](f(a_n))_{n \in \IN}[/mm] 1 sein."
(Warum -> Weil der einzige positive Funktionswert von f eben 1 ist).
Mit meiner Definition oben würde ich es so aufschreiben (die Idee ist genau dieselbe wie deine):
Sei [mm] x_{0} [/mm] > 0. Sei [mm] (x_{n})_{n\in\IN}\subset\IR [/mm] beliebige Folge mit [mm] (x_{n})\to x_{0}.
[/mm]
Wähle [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] x_{0}/2$, [/mm] dann folgt aus der Konvergenz von [mm] (x_{n}):
[/mm]
[mm] \exists N_{0}\in\IN:\forall [/mm] n>N: [mm] |x_{n}-x_{0}| [/mm] < [mm] x_{0}/2
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{n} [/mm] > [mm] x_{0}/2.
[/mm]
(Das folgt, weil obige Betragsungleichung nichts anderes bedeutet als:
[mm] $x_{0} [/mm] / 2 = [mm] x_{0} [/mm] - [mm] x_{0}/2 [/mm] < [mm] x_{n} [/mm] < [mm] x_{0} [/mm] + [mm] x_{0}/2 [/mm] = [mm] x_{0}*3/2$
[/mm]
Das heißt wir haben nun konkret ein [mm] N_{0} [/mm] bestimmt. Nun folgt für n > [mm] N_{0}:
[/mm]
[mm] f(x_{n}) [/mm] = 1 [mm] \to [/mm] 1 = [mm] f(x_{0}).
[/mm]
Analog [mm] x_{0} [/mm] < 0.
------------
(Du hast übrigens noch nicht gezeigt, dass f in x = 0 unstetig ist!)
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 So 10.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo Stefan!
Danke für die schnelle & ausführliche Antwort! 
Oben bei der Definition hatte ich mich einfach vertan, unten habe ich es ja richtig gemacht, aber trotzdem Danke für den Hinweis!
Du hast mir ja gezeigt, wie man das Ganze mathematisch aufschreibt:
>
> Mit meiner Definition oben würde ich es so aufschreiben
> (die Idee ist genau dieselbe wie deine):
>
> Sei [mm]x_{0}[/mm] > 0. Sei [mm](x_{n})_{n\in\IN}\subset\IR[/mm] beliebige
> Folge mit [mm](x_{n})\to x_{0}.[/mm]
> Wähle [mm]\epsilon = x_{0}/2[/mm],
> dann folgt aus der Konvergenz von [mm](x_{n}):[/mm]
>
> [mm]\exists N_{0}\in\IN:\forall[/mm] n>N: [mm]|x_{n}-x_{0}|[/mm] < [mm]x_{0}/2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow x_{n}[/mm] > [mm]x_{0}/2.[/mm]
>
> (Das folgt, weil obige Betragsungleichung nichts anderes
> bedeutet als:
>
> [mm]x_{0} / 2 = x_{0} - x_{0}/2 < x_{n} < x_{0} + x_{0}/2 = x_{0}*3/2[/mm]
Gut, das habe ich verstanden. Habe es mir als Zahlenstrahl hingemalt, dann ist es ja völlig klar. Und ehrlich gesagt hilft mir das bei Stetigkeit immer sehr mir den Zahlenstrahl vorzustellen ^^.
>
> Das heißt wir haben nun konkret ein [mm]N_{0}[/mm] bestimmt.
MUSS ich immer ein konkretes [mm] N_0 [/mm] bestimmten?
Nun
> folgt für n > [mm]N_{0}:[/mm]
>
> [mm]f(x_{n})[/mm] = 1 [mm]\to[/mm] 1 = [mm]f(x_{0}).[/mm]
>
> Analog [mm]x_{0}[/mm] < 0.
>
> ------------
>
> (Du hast übrigens noch nicht gezeigt, dass f in x = 0
> unstetig ist!)
Also das würde ich so zeigen: für m bzw. [mm] x_0 [/mm] = 0 gilt:
[mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] konvergiert gegen [mm] |x_n [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon [/mm] => [mm] |x_n| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n > [mm] N_0 [/mm] . f(0) = 1. Sei [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2. Also liegen fast alle Folgenglieder von [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] im Bereich zwischen -1/2 und 1/2. (*da man ja [mm] \varepsilon [/mm] beliebig (klein) um 0 herum wählen kann) Es gibt ja 3 (oder mehr?) verschiedene Fälle: Die Folge könnte um 0 herum hin und her pendeln oder sie könnte von oben oder von unten gegen 0 konvergieren. Dann würden ja ALLE Folgenglieder positiv bzw. negativ sein und deshalb ALLE Folgenglieder von [mm] (f(a_n))_{n \in \IN} [/mm] 0 bzw. 1. Nehmen wir aber zunächst an (Fall 1), dass genau die Hälfte der Folgenglieder läge zwischen - [mm] \varepsilon [/mm] und 0 oder zwischen 0 und [mm] \varepsilon. [/mm] Daraus folgt, dass die Hälfte der (UNENDLICH vielen) Folgenglieder von [mm] (f(a_n))_{n \in \IN} [/mm] und EIN weiteres Folgenglied (nämlich [mm] f(x_0)) [/mm] 1 und die andere Hälfte 0 ist. Ich weiß nur leider nicht, wie ich das mathematisch hinschreiben kann?
Also kann [mm] (f(a_n))_{n \in \IN} [/mm] nicht konvergieren, weder gegen 1, was ja zutreffen müsste, wenn die Funktion in [mm] x_0 [/mm] = 0 folgenstetig wäre, noch gegen irgendeinen anderen Wert zwischen -1/2 und 1/2, sondern sie divergiert.
Fall 2 wäre: [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] konvergiert von unten gegen 0. => Alle Folgenglieder von [mm] (a_n) [/mm] negativ => Alle Folgenglieder von [mm] (f(a_n))_{n \in \IN} [/mm] = 0, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f(a_n))_{n \in \IN} [/mm] konvergiert gegen 0. Dann wäre aber doch die Folgenstetigkeit.
Fall 3 wäre, dass [mm] (a_n)_{n \in \IN} [/mm] von oben gegen 0 konvergiert => Alle Folgenglieder von [mm] (a_n) [/mm] positiv => Alle Folgenglieder von [mm] (f(a_n))_{n \in \IN} [/mm] = 1, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f(a_n))_{n \in \IN} [/mm] konvergiert gegen 1. Dann wäre die Folgenstetigkeit nicht gegeben.
Um die Folgenstetigkeit zu erfüllen, müssen ja ALLE Folgen, die gegen 0 konvergieren, die Bedingung [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n)_{n \in \IN} \rightarrow x_0 [/mm] => [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (f(a_n))_{n \in \IN} \rightarrow f(x_0) [/mm] erfüllen. Und da es ja aber auch Folgen gibt, auf die Fall 1 bzw. Fall 3 zutrifft (hier könnte man evtl. Beispiele geben: Für Fall 1: [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^k*\bruch{1}{k}, [/mm] für Fall 3: [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}), [/mm] ist die Folgenstetigkeit eben NICHT erfüllt.
Kann man das so als Beweis gelten lassen? Bzw. wie schreibe ich das schöner / mathematischer hin?
Danke schonmal
So und jetz der Beweis aus dem Skript, den ich nicht verstanden habe:
"Für [mm] x_0 \not= [/mm] 0 existiert für jede gegen [mm] x_0 [/mm] konvergente Folge ein [mm] N_0 \in \IN [/mm] mit [mm] |a_n [/mm] - [mm] x_0| [/mm] < [mm] |x_0| [/mm] für n > [mm] N_0 [/mm] (hier hat man anscheinend [mm] \varepsilon [/mm] = |x-0| gewählt??), also [mm] f(a_n) [/mm] = [mm] f(x_0). [/mm] "
Also wenn ich ich [mm] x_0 [/mm] negativ wähle, dann habe ich [mm] a_n [/mm] + [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_0 \gdw a_n [/mm] <0 => [mm] f(a_n) [/mm] = 0. Und [mm] f(x_0) [/mm] ist auch 0, weil wir es ja negativ gewählt haben.
Sei [mm] x_0 [/mm] > 0. => [mm] f(x_0) [/mm] = 1. [mm] |a_n [/mm] - [mm] x_0| [/mm] < [mm] x_0. [/mm] Die Betragsstriche kann ich hier auch links einfach weglassen, da [mm] a_n [/mm] positiv sein muss (für alle n ab einem [mm] N_0) [/mm] also: [mm] a_n [/mm] - [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_0 \gdw a_n [/mm] < [mm] 2*x_0 [/mm] => [mm] f(a_n) [/mm] = [mm] f(2*x_0) [/mm] = 1, da [mm] 2*x_0 [/mm] > 0. Habe ich das richtig interpretiert?? ^^
Dann weiter im Skript der Beweis für [mm] x_0 [/mm] = 0 nicht folgenstetig:
"Für [mm] x_0 [/mm] = 0 dagegen konvergiert zwar die Folge mit [mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{-1}{n} [/mm] gegen [mm] x_0, [/mm] aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(a_m) \not= [/mm] f(m) = 1. " Das ist glaube ich ungefähr das Gleiche was ich auch gemacht habe, es wurde nämlich ein Beispiel meinen Fall 3 als Gegenbeispiel hergenommen, oder?
lG
Fine
|
|
|
| |
|
Hallo Fine,
> Du hast mir ja gezeigt, wie man das Ganze mathematisch
> aufschreibt:
> >
> > Mit meiner Definition oben würde ich es so aufschreiben
> > (die Idee ist genau dieselbe wie deine):
> >
> > Sei [mm]x_{0}[/mm] > 0. Sei [mm](x_{n})_{n\in\IN}\subset\IR[/mm] beliebige
> > Folge mit [mm](x_{n})\to x_{0}.[/mm]
> > Wähle [mm]\epsilon = x_{0}/2[/mm],
>
> > dann folgt aus der Konvergenz von [mm](x_{n}):[/mm]
> >
> > [mm]\exists N_{0}\in\IN:\forall[/mm] n>N: [mm]|x_{n}-x_{0}|[/mm] < [mm]x_{0}/2[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow x_{n}[/mm] > [mm]x_{0}/2.[/mm]
> >
> > (Das folgt, weil obige Betragsungleichung nichts anderes
> > bedeutet als:
> >
> > [mm]x_{0} / 2 = x_{0} - x_{0}/2 < x_{n} < x_{0} + x_{0}/2 = x_{0}*3/2[/mm]
>
> Gut, das habe ich verstanden. Habe es mir als Zahlenstrahl
> hingemalt, dann ist es ja völlig klar. Und ehrlich gesagt
> hilft mir das bei Stetigkeit immer sehr mir den
> Zahlenstrahl vorzustellen ^^.
> >
> > Das heißt wir haben nun konkret ein [mm]N_{0}[/mm] bestimmt.
>
> MUSS ich immer ein konkretes [mm]N_0[/mm] bestimmten?
Naja, die Aussage "es gibt ein [mm] N_{0} [/mm] " kann schließlich jeder behaupten... Bei deinem Beweis war aber zumindest klar, aus welcher Beziehung du dein [mm] N_{0} [/mm] herholst, deswegen fand ich das okay.
Aber eigentlich muss dir konkret klar sein, wie du als "Prüfer der Stetigkeit" dein [mm] N_{0} [/mm] bestimmen kannst, und das auch aufschreiben können.
> Nun
> > folgt für n > [mm]N_{0}:[/mm]
> >
> > [mm]f(x_{n})[/mm] = 1 [mm]\to[/mm] 1 = [mm]f(x_{0}).[/mm]
> >
> > Analog [mm]x_{0}[/mm] < 0.
> >
> > ------------
> >
> > (Du hast übrigens noch nicht gezeigt, dass f in x = 0
> > unstetig ist!)
>
> Also das würde ich so zeigen: für m bzw. [mm]x_0[/mm] = 0 gilt:
> [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] konvergiert gegen [mm]|x_n[/mm] - 0| < [mm]\varepsilon[/mm]
> => [mm]|x_n|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n > [mm]N_0[/mm] . f(0) = 1. Sei
> [mm]\varepsilon[/mm] = 1/2. Also liegen fast alle Folgenglieder von
> [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] im Bereich zwischen -1/2 und 1/2. (*da
> man ja [mm]\varepsilon[/mm] beliebig (klein) um 0 herum wählen
> kann) Es gibt ja 3 (oder mehr?) verschiedene Fälle: Die
> Folge könnte um 0 herum hin und her pendeln oder sie
> könnte von oben oder von unten gegen 0 konvergieren. Dann
> würden ja ALLE Folgenglieder positiv bzw. negativ sein und
> deshalb ALLE Folgenglieder von [mm](f(a_n))_{n \in \IN}[/mm] 0 bzw.
> 1. Nehmen wir aber zunächst an (Fall 1), dass genau die
> Hälfte der Folgenglieder läge zwischen - [mm]\varepsilon[/mm] und
> 0 oder zwischen 0 und [mm]\varepsilon.[/mm] Daraus folgt, dass die
> Hälfte der (UNENDLICH vielen) Folgenglieder von
> [mm](f(a_n))_{n \in \IN}[/mm] und EIN weiteres Folgenglied (nämlich
> [mm]f(x_0))[/mm] 1 und die andere Hälfte 0 ist. Ich weiß nur
> leider nicht, wie ich das mathematisch hinschreiben kann?
> Also kann [mm](f(a_n))_{n \in \IN}[/mm] nicht konvergieren, weder
> gegen 1, was ja zutreffen müsste, wenn die Funktion in [mm]x_0[/mm]
> = 0 folgenstetig wäre, noch gegen irgendeinen anderen Wert
> zwischen -1/2 und 1/2, sondern sie divergiert.
> Fall 2 wäre: [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] konvergiert von unten
> gegen 0. => Alle Folgenglieder von [mm](a_n)[/mm] negativ => Alle
> Folgenglieder von [mm](f(a_n))_{n \in \IN}[/mm] = 0,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(f(a_n))_{n \in \IN}[/mm] konvergiert
> gegen 0. Dann wäre aber doch die Folgenstetigkeit.
> Fall 3 wäre, dass [mm](a_n)_{n \in \IN}[/mm] von oben gegen 0
> konvergiert => Alle Folgenglieder von [mm](a_n)[/mm] positiv => Alle
> Folgenglieder von [mm](f(a_n))_{n \in \IN}[/mm] = 1,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (f(a_n))_{n \in \IN}[/mm]
> konvergiert gegen 1. Dann wäre die Folgenstetigkeit nicht
> gegeben.
>
> Um die Folgenstetigkeit zu erfüllen, müssen ja ALLE
> Folgen, die gegen 0 konvergieren, die Bedingung
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n)_{n \in \IN} \rightarrow x_0[/mm]
> => [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (f(a_n))_{n \in \IN} \rightarrow f(x_0)[/mm]
> erfüllen. Und da es ja aber auch Folgen gibt, auf die Fall
> 1 bzw. Fall 3 zutrifft (hier könnte man evtl. Beispiele
> geben: Für Fall 1: [mm]a_n[/mm] = [mm](-1)^k*\bruch{1}{k},[/mm] für Fall 3:
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{k}),[/mm] ist die Folgenstetigkeit eben NICHT
> erfüllt.
> Kann man das so als Beweis gelten lassen? Bzw. wie
> schreibe ich das schöner / mathematischer hin?
> Danke schonmal
Solche Überlegungen, wie du sie anstellst, würden sich in einem Lehrbuch besser machen 
Du hast ja alle Fälle behandelt, das ist nicht notwendig. Es reicht, EIN konkretes Gegenbeispiel (wie unten in dem kurzen Beweis) anzugeben, dass du aber mit Hilfe dieser obigen Überlegungen dann aber relativ leicht konstruieren kannst.
Nur zur Verdeutlichung, was du gemacht hast: Du hattest "übertragen" die Aussage a < b für beliebige a und b aus [mm] \IR. [/mm] Dann hast du untersucht: Ja, für a < b stimmt die Aussage, für a = b stimmt sie nicht, für a > b stimmt sie nicht - da sie aber für alle a,b gelten muss, muss die Aussage falsch sein.
Viel einfacher wäre es: Wähle a = 2, b = 1, dann steht da 2 < 1, was offensichtlich falsch ist. Also stimmt die Aussage nicht.
> So und jetz der Beweis aus dem Skript, den ich nicht
> verstanden habe:
> "Für [mm]x_0 \not=[/mm] 0 existiert für jede gegen [mm]x_0[/mm]
> konvergente Folge ein [mm]N_0 \in \IN[/mm] mit [mm]|a_n[/mm] - [mm]x_0|[/mm] < [mm]|x_0|[/mm]
> für n > [mm]N_0[/mm] (hier hat man anscheinend [mm]\varepsilon[/mm] = |x-0|
> gewählt??), also [mm]f(a_n)[/mm] = [mm]f(x_0).[/mm] "
Genau, hier wurde [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] |x_{0}| [/mm] gewählt (Das war oben bei mir in meinem Beweis noch etwas ungenau, im Fall [mm] x_{0} [/mm] < 0 hätten dann auch Betragsstriche drum gemusst). In dem Beweis wird also noch eine größere Epsilon-Umgebung benutzt, mit der es gerade so noch klappt (Das finde ich immer nicht so toll, deswegen hatte ich für Epsilon [mm] x_{0}/2 [/mm] gewählt, damit man es auch graphisch besser sieht ).
> Also wenn ich ich [mm]x_0[/mm] negativ wähle, dann habe ich [mm]a_n[/mm] +
> [mm]x_0[/mm] < [mm]x_0 \gdw a_n[/mm] <0 => [mm]f(a_n)[/mm] = 0. Und [mm]f(x_0)[/mm] ist auch 0,
> weil wir es ja negativ gewählt haben.
Du darfst nicht so leichtfertig mit den Beträgen umgehen. Grundsätzlich steht im Fall [mm] x_{0} [/mm] < 0 erstmal da:
[mm] $|a_{n}-x_{0}| [/mm] < [mm] |x_{0}| [/mm] = [mm] -x_{0}$
[/mm]
Den Betrag könntest du nur mit Fallunterscheidungen auflösen, weil eben auch hier noch immer der Fall eintreten kann, dass alle [mm] a_{n} [/mm] kleiner als [mm] x_{0} [/mm] sind! Aber du kannst eben daraus folgern:
[mm] $2*x_{0} [/mm] = [mm] \red{x_{0}-(-x_{0}) < a_{n} < x_{0}-x_{0}} [/mm] = 0$,
also [mm] $a_{n} [/mm] < 0$.
> Sei [mm]x_0[/mm] > 0. => [mm]f(x_0)[/mm] = 1. [mm]|a_n[/mm] - [mm]x_0|[/mm] < [mm]x_0.[/mm] Die
> Betragsstriche kann ich hier auch links einfach weglassen,
> da [mm]a_n[/mm] positiv sein muss (für alle n ab einem [mm]N_0)[/mm] also:
> [mm]a_n[/mm] - [mm]x_0[/mm] < [mm]x_0 \gdw a_n[/mm] < [mm]2*x_0[/mm] => [mm]f(a_n)[/mm] = [mm]f(2*x_0)[/mm] = 1,
> da [mm]2*x_0[/mm] > 0. Habe ich das richtig interpretiert?? ^^
Nein - wieder waren's die Beträge. Was du folgern kannst, ist nur, dass [mm] a_{n} [/mm] > 0 ist, nicht aber, dass [mm] a_{n} [/mm] > [mm] x_{0} [/mm] ist. Versuche das mit der obigen Schreibweise nochmal herzuleiten.
> Dann weiter im Skript der Beweis für [mm]x_0[/mm] = 0 nicht
> folgenstetig:
> "Für [mm]x_0[/mm] = 0 dagegen konvergiert zwar die Folge mit [mm]a_n[/mm]
> := [mm]\bruch{-1}{n}[/mm] gegen [mm]x_0,[/mm] aber
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(a_m) \not=[/mm] f(m) = 1. " Das
> ist glaube ich ungefähr das Gleiche was ich auch gemacht
> habe, es wurde nämlich ein Beispiel meinen Fall 3 als
> Gegenbeispiel hergenommen, oder?
Genau - wie gesagt, ein Gegenbeispiel reicht für einen Widerspruch aus, da es ja für alle Folgen klappen muss. Du wählst also eine GANZ konkrete Folge aus und zeigst, dass es nicht klappt. Je nachdem, ob die Funktion linksseitig oder rechtsseitig unstetig ist, reicht es meistens, 1/n oder -1/n zu nehmen.
Grüße,
Stefan
>
> lG
> Fine
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Mo 11.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo nochmal,
ich habe noch eine allgemeine Frage:
ich finde die Definition bzw. Beweise für Folgenstetigkeit einfacher als die Definition von bzw.Beweise für "normale" Stetigkeit. Es gilt ja : "f:M [mm] \rightarrow [/mm] N ist genau dann folgenstetig in m [mm] \in [/mm] M, wenn f stetig in m ist. " In manchen Büchern ist ja auch die Folgenstetigkeit nur als andere Definition von Stetigkeit aufgeführt.
Kann ich also, wenn ich Stetigkeit zeigen soll, immer Folgenstetigkeit beweisen? Bzw. es gilt ja auch immer: wenn f NICHT folgenstetig ist, kann sie auch nicht stetig sein, oder? Es ist ja dann eigentlich wirklich gleichbedeutend...?
lG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:10 Mo 11.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo nochmal,
>
> ich habe noch eine allgemeine Frage:
> ich finde die Definition bzw. Beweise für
> Folgenstetigkeit einfacher als die Definition von
> bzw.Beweise für "normale" Stetigkeit. Es gilt ja : "f:M
> [mm]\rightarrow[/mm] N ist genau dann folgenstetig in m [mm]\in[/mm] M, wenn
> f stetig in m ist. " In manchen Büchern ist ja auch die
> Folgenstetigkeit nur als andere Definition von Stetigkeit
> aufgeführt.
> Kann ich also, wenn ich Stetigkeit zeigen soll, immer
> Folgenstetigkeit beweisen?
Ja
> Bzw. es gilt ja auch immer: wenn
> f NICHT folgenstetig ist, kann sie auch nicht stetig sein,
> oder?
Ja
> Es ist ja dann eigentlich wirklich
> gleichbedeutend...?
Ja
FRED
>
> lG
|
|
|
|
