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| Aufgabe | | Wenn X das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, ist jede in [mm] x_0 [/mm] folgenstetige Funktion stetig in x. |
Den Anfang des Beweises verstehe ich gut, aber am Ende hackts ..
Ang f:X->Y nicht stetig in [mm] x_0, [/mm] d.h. [mm] \exists [/mm] V [mm] \in [/mm] U [mm] (f(x_0)) [/mm] sodass [mm] f^{-1} [/mm] keine Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ist. Sei [mm] \beta (x_0) [/mm] eine abzählbare Umgebungsbasis von x mit [mm] U_1 \supseteq U_2 \supseteq U_3 \supseteq [/mm] .. [mm] \supseteq [/mm] .
Es gilt [mm] f^{-1} (V)^c \cap U_j \not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] j
Nun verstehe ich es nicht mehr:
d.h. [mm] \forall [/mm] j [mm] \exists x_j \in U_j [/mm] mit [mm] f(x_j) \not\in [/mm] U
Es gilt dann [mm] x_j [/mm] -> [mm] x_0 [/mm] (wenn U [mm] \in U(x_0), [/mm] dann gibt es ein N mit [mm] U_n \subseteq [/mm] U also [mm] x_j \in [/mm] U [mm] \forall [/mm] j >= N , denn [mm] f(x_j) [/mm] konv nicht gegen [mm] f(x_0)
[/mm]
Würd mich über Aufklärung des Beweises freuen,
Vielen dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo theresetom,
übrigens mein Beileid für die miserablen Tafelanschriebe, mit denen du arbeiten musst...
> Ang f:X->Y nicht stetig in [mm]x_0,[/mm] d.h. [mm]\exists[/mm] V [mm]\in[/mm] [mm]U (f(x_0))[/mm] sodass [mm]f^{-1}\red{(V)}[/mm] keine Umgebung von [mm]x_0[/mm] ist. Sei
> [mm]\beta (x_0)\red{=\{U_n|n\in\IN_{>0}\}}[/mm] eine abzählbare Umgebungsbasis von [mm] $x_{\red0}$ [/mm] mit [mm]U_1 \supseteq U_2 \supseteq U_3 \supseteq[/mm]
> .. [mm]\supseteq[/mm] .
> Es gilt [mm]f^{-1} (V)^c \cap U_j \not=[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] j
>
> Nun verstehe ich es nicht mehr:
> d.h. [mm]\forall[/mm] j [mm]\exists x_j \in U_j[/mm] mit [mm]f(x_j) \not\in[/mm] UV
Der Zeile darüber entnehmen wir, dass für jedes [mm] $j\in\IN$ [/mm] ein [mm] $x_j\in f^{-1}(V)^c\cap U_j$ [/mm] existiert. Also [mm] $x_j\in U_j$ [/mm] und [mm] $x_j\not\in f^{-1}(V)$. [/mm] Letzteres heißt [mm] $f(x_j)\not\in [/mm] V$.
> Es gilt dann [mm]x_j[/mm] -> [mm]x_0[/mm]
Um das zu begründen ist zu zeigen, dass für alle [mm] $U\in U(x_0)$ [/mm] ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] existiert mit [mm] $x_j\in [/mm] U$ für alle [mm] $j\ge [/mm] N$.
> (wenn U [mm]\in U(x_0),[/mm]dann gibt es
> ein N mit [mm]U_\red{N} \subseteq[/mm] U
Definition von [mm] $\{U_n\;|\;n\in\IN_{>0}\}$ [/mm] Umgebungsbasis von [mm] $x_0$.
[/mm]
> also [mm]x_j \in[/mm][mm] \red{U_j\subseteq U_N\subseteq} [/mm] U [mm]\forall[/mm] j >= N ,
Also wie gewünscht [mm] $x_j\in [/mm] U$ für alle [mm] $j\ge [/mm] N$.
> denn aber [mm]f(x_j)[/mm] konv nicht gegen [mm]f(x_0)[/mm], Widerspruch.
Um einzusehen, dass [mm] $f(x_j)$ [/mm] nicht gegen [mm] $f(x_0)$ [/mm] konvergiert, betrachte unsere Umgebung [mm] $V\in U(f(x_0))$: [/mm] Es gilt [mm] $f(x_j)\not\in [/mm] V$ für alle [mm] $j\in\IN$, [/mm] also existiert kein [mm] $N\in\IN$ [/mm] mit [mm] $f(x_j)\in [/mm] V$ für alle [mm] $j\ge [/mm] N$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:02 Sa 20.10.2012 | | Autor: | theresetom |
danke, hab den beweis endlich verstanden ;)
LG
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Hallo,
Ich weiß der beitrag ist schon etwas älter, aber ich bereite mich nun auf die Prüfung vor und deshalb geh ich das nochmal durch.
Wo fließt hier im Beweis die Abzhählbarkeit der Umgebungsbasis ein? Welchen schritt hätte man im Beweis sonst nicht machen dürfen??
LG
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Hallo,
> Wo fließt hier im Beweis die Abzhählbarkeit der
> Umgebungsbasis ein? Welchen schritt hätte man im Beweis
> sonst nicht machen dürfen??
Du hast diese Abzählbarkeit wesentlich gebraucht, um die Folge [mm] $(x_k)$ [/mm] zu konstruieren (die dann letztlich ein Gegenbeispiel für die Folgenstetigkeit wird).
(Eine Folge muss per Def. aus abzählbar vielen Folgengliedern bestehen).
Viele Grüße,
Stefan
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