Formale Laurentreihen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
mich würde interessieren, wie man zeigen kann, dass der Körper der formalen Laurentreihen vollständig ist (bezüglich der unten genannten diskreten Bewertung).
Also man betrachtet den Körper der formalen Laurentreihen über dem Körper $K$:
$K((t)) = [mm] \{ \sum_{n=l}^{\infty}a_n t^n : l \in \mathbb{Z}, a_n \in K, a_l \not= 0 \}$.
[/mm]
Formale Laurentreihen werden nun diskret bewertet vermöge:
$ [mm] v(\sum_{n=l}^{\infty}a_n t^n) [/mm] = l$,
also der kleinste vorkommende Expontent von $t$.
Mir ist nicht klar, warum $(K((t)), v)$ vollständig ist. Weiss jemand Rat ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Mo 04.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> mich würde interessieren, wie man zeigen kann, dass der
> Körper der formalen Laurentreihen vollständig ist
> (bezüglich der unten genannten diskreten Bewertung).
>
> Also man betrachtet den Körper der formalen Laurentreihen
> über dem Körper [mm]K[/mm]:
> [mm]K((t)) = \{ \sum_{n=l}^{\infty}a_n t^n : l \in \mathbb{Z}, a_n \in K, a_l \not= 0 \}[/mm].
>
> Formale Laurentreihen werden nun diskret bewertet
> vermöge:
> [mm]v(\sum_{n=l}^{\infty}a_n t^n) = l[/mm],
> also der kleinste
> vorkommende Expontent von [mm]t[/mm].
>
> Mir ist nicht klar, warum [mm](K((t)), v)[/mm] vollständig ist.
> Weiss jemand Rat ?
Versuch es doch mal zu beweisen 
Es ist wirklich nicht sehr schwer.
Anfangen tut man mit einer Cauchy-Folge [mm] $(\sum_{n=\ell_i}^\infty a_{n,i} t^n)_{i\in\IN}$. [/mm] Was genau bedeutet es, dass dies eine Cauchy-Folge ist?
Wie sieht eventuell der Grenzwert aus?
Oder erstmal was einfacheres: kann [mm] $\ell_i \to -\infty$ [/mm] gehen fuer $i [mm] \to \infty$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Di 05.07.2011 | | Autor: | Jorgi |
Für die Chauchy-Folge $ [mm] (\sum_{n=\ell_i}^\infty a_{n,i} t^n)_{i\in\IN} [/mm] $
ist die Menge der Startindizes [mm] $l_i$ [/mm] nach unten beschränkt, kann nicht beliebig klein werden.
Für einen Grenzwert $y = [mm] \sum_{n=\ell}^\infty a_{n} t^n [/mm] $ müsste gelten, dass möglichst viele Summanden übereinstimmen mit den Summanden der Folgeglieder (für große $i$). Wie ein solcher Grenzwert aussehen könnte ist mir irgendwie schleierhaft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Di 05.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für die Chauchy-Folge [mm](\sum_{n=\ell_i}^\infty a_{n,i} t^n)_{i\in\IN}[/mm]
>
> ist die Menge der Startindizes [mm]l_i[/mm] nach unten beschränkt,
> kann nicht beliebig klein werden.
Und warum ist sie das?
Wenn du das genau beantworten kannst, sollte es dir auch helfen die Fragestellung weiter zu untersuchen.
> Für einen Grenzwert [mm]y = \sum_{n=\ell}^\infty a_{n} t^n[/mm]
> müsste gelten, dass möglichst viele Summanden
> übereinstimmen mit den Summanden der Folgeglieder (für
> große [mm]i[/mm]). Wie ein solcher Grenzwert aussehen könnte ist
> mir irgendwie schleierhaft.
Schau dir fuer ein festes $n$ mal die Koeffizientenfolge [mm] $a_{n,i}$, [/mm] $i [mm] \in \IN$ [/mm] an. Kannst du etwas ueber diese sagen? (Du musst benutzen, dass die Potenzreihen eine Cauchy-Folge bilden!)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:38 Di 05.07.2011 | | Autor: | Jorgi |
Okey, ich habs ... danke ;)
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