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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:23 Sa 22.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:[a,b]\to[c,d] [/mm] eine stetige Funktion mit f(a)=c , f(b)=d und es sei f|(a,b) stetig differenzierbar und f´(x)>0 für alle [mm] x\in(a,b). [/mm] Beweisen Sie:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}+ \integral_{c}^{d}{f^{-1}(y) dy}=bd-ac. [/mm] |
Hallo,
zu der Aufgabe ist mir folgendes unklar:
Stünde [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}+ \integral_{c}^{d}{f(x) dx} [/mm] könnte man
b als Zwischengrenze auffassen. Ich würde b=c setzen und käme auf das Ergebnis.
In der Aufgabe wird aber beim 1. integral längs der x-Achse integriert, beim 2.Integral längs der y-Achse. Außerdem steht die Funktion [mm] f^{-1}(y). [/mm]
Sol [mm] f^{-1}(y) [/mm] die Umkfunktion von f(x) sein? Wenn ja, kann man sich in einem y-x-Koordinatensystem [mm] f^{-1}(y) [/mm] als Spiegelbild zu f(x) an der Geraden y(x)=x vorstellen. Aber wie komme ich von dy auf dx?
Wer kann mirhier weiterhelfen?
Besten Dank im Voraus
Gruß didi_160
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ohne Worte
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Sa 22.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
besten Dank für deine schelle Antwort.
Deine anschauliche Intwerpretation der Aufgabe bestärkt mich in meinem Gedankengang. Anschaulich ist mir der Sachverhalt klar.
ABER:
Wie soll ich den Sachvehalt allgemeingültig beweisen? Vor allem weiß ich nicht was ich mit [mm] f^{-1}(y)dy [/mm] machen soll. Ist damit überhaupt die inverse Funktion von f(x) gemeint? Wenn ja, wie ist dann dy zu interpretieren?
Hast du noch einen Tipp für mich? Wäre sehr dankbar dafür.
Viele Grüße
didi_160
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Für einen (unanschaulichen) formalen Beweis substituiere im zweiten Integral
[mm]y = f(x) \, , \ \ \mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x[/mm]
Wie lauten die neuen Integrationsgrenzen, wie heißt der neue Integrand?
Das Integral kann dann mit partieller Integration weiterverarbeitet werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Sa 22.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
besten Dank für deinen Tipp. Erst einmal zum Integranden: Nach dem Einsetzen erhalte ich: [mm] f^{-1}(f(x))*f'(x)*dx. [/mm] Wie soll ich denn diesen Ausdruck deuten? Erste Ableitung der Funktion multiplizert mit der inversen Funktion von f(x)??? Oder liege ich total daneben?
Bin für jeden Tipp sehr dankbar.
Viele Grüße
didi_160
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[mm]f^{-1}[/mm] ist ja die Umkehrfunktion von [mm]f[/mm], z.B. [mm]f^{-1}(y) = \sqrt{y}[/mm] und [mm]f(x) = x^2[/mm] oder [mm]f^{-1}(y) = \ln{y}[/mm] und [mm]f(x) = \operatorname{e}^x[/mm] oder [mm]f^{-1}(y) = y - 1[/mm] und [mm]f(x) = x+1[/mm] oder ...
Was ist daher [mm]f^{-1} \left( f(x) \right)[/mm]?
Du solltest mehr darauf aus sein, die Mathematik inhaltlich anzugehen, also stets Fragen der Art stellen: Welche Bedeutung hat dieses oder jenes Zeichen? Wie kann man sich das veranschaulichen? Gibt es Beispiele dafür? Gilt das auch noch, wenn man diese oder jene Voraussetzung fallen läßt?
Im Moment scheinst du mir die Mathematik noch zu sehr formal anzugehen. Du konntest offenbar auf meinen Vorschlag hin die Substitution korrekt anwenden, d.h. du beherrschst die Technik, das Formale also, ja du weißt sogar, daß [mm]f^{-1}[/mm] die Umkehrfunktion bezeichnet, kannst dieses Wissen dann aber nicht ausnützen, weil du keine inhaltliche Vorstellung davon hast.
Wenn du in der Mathematik auf lange Sicht Erfolg haben willst, mußt du vom Formalen weg (das beherrschen die Mathematiker sowieso) zum Inhaltlichen hin.
Ein sehr ernst gemeinter Rat ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 So 23.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo,
jetzt hat es dank deiner Unterstützung gefunkt. Ich bedanke mich sehr dafür.
Also: [mm] \integral_{(x_1=c)}^{(x_2=d)}{f^{-1}(y) dy}=\integral_{(x_1=c)}^{(x_2=d)}{f^{-1}(y) f'(x)dx}=\integral_{y_1=c}^{y_2=d}{f^{-1}(f(x))*f'(x)dx}=\integral_{y_1=c}^{y_2=d}{y*f'(x)dx}=\integral_{y_1=c}^{y_2=d}{y*dy}
[/mm]
Ist die Schreibweise mit den Integrationsgerenzen so korrekt???? Ich habe vorsichtshalber x ,y mit dazugeschrieben. Ich kenne folgende Schreibweisen:
::: mit Klammer->Grenze bezieht sich auf alte Integrationsvariable x und :::ohne Klammer->Grenze bezieht sich auf neue Integrationsvariable y.
Bei der Aufgabe bin ich mir nicht sicher wo die Schnittstelle zwischen Gültigkeit Grenzen x und Gültigkeit Grenzen y liegt. Bitte korrigiere meine Lösung dahingehend.
Besten Dank im Voraus.
Viele Grüße didi_160
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 So 23.07.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, didi,
ich will Leopold nicht "dazwischenfunken"; daher nur dieser Hinweis:
[mm] f^{-1}(f(x)) [/mm] = x, nicht (wie in Deinem Vorschlag) y.
Ach ja, und bezüglich der Grenzen: Die beziehen sich immer auf die Integrationsvariable!
Wenn Du mit der Schreibweise Schwierigkeiten hast, lässt Du sie zunächst mal weg und integrierst "unbestimmt" (Nebenrechnung!)
Erst im letzten Rechenschritt bringst Du die Grenzen wieder ins Spiel.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 So 23.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Hallo Zwerglein,
Danke für den Hinweis.
Ich glaube ihr beide hat grungsätzlich recht.
Schau dir mal bitte die Skizze von Leopold an. Der Term b*d beschreibt die Fläche des "großen" Rechtecks. Von der muß die Fläche des "kleinen" Rechteckes a*c subtrahiert werden.
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Oder mit dem Flächeninhalt unter der Kurve interpretiert: Zu der Fläche unter der Kurve y(x) in den Grenzen a->b entlang der x-Achse ist die Fläche unter der Kurve x(y) in den Grenzen c->d entlang der y-Achse zu addieren.
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x(y) wird doch gebildet, indem y(x) nur nach y explizit aufgelöst wird. Der
2. Schritt der beim klassischen bilden der Umkehrfunktion gegangen werden muß (Vertauschen der Vaiablen) ist aber bei uns gar nicht ausgeführt worden!
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In Zeichen kann das nur so sein:
y=f(x)
dy=f'(x)*dx
[mm] \integral_{(c)}^{(d)}{f^{-1}(y) dy}= \integral_{(c)}^{(d)}{f^{-1}(y) f'(x)*dx}= \integral_{(c)}^{(d)}{f^{-1}(f(x)) \bruch{dy}{dx}*dx}= \integral_{c}^{d}{x *dy}=\integral_{c}^{d}{x(y) *dy}
[/mm]
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Was mich gerade noch stutzig macht:
In der Aufgabe ist zu beweisen dass gilt:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}+ \integral_{c}^{d}{f^{-1}(y) dy}=bd-ac
[/mm]
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Aus der Anschauung ist klar , dass von der großen Rechteckfläche die kleine
Rechteckfläche zu subtrahieren ist.
Aber in der unanschaulichen formalen Beweisführung müssen die beiden Flächen addiert werden. Wie bekomme ich denn das Problem in die Reihe?? Einfach auf dien anschauung verweisen???
Viele Grüße
didi_160
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Beim Substituieren müssen auch die Grenzen substituiert werden. Man muß daher die [mm]y[/mm]-Grenzen [mm]c[/mm] bzw. [mm]d[/mm] durch die korrespondierenden [mm]x[/mm]-Grenzen ersetzen. Wegen der Substitution [mm]y = f(x)[/mm] sind das aber [mm]a[/mm] bzw. [mm]b[/mm]. Das ist nämlich in der Aufgabe gerade vorausgesetzt: [mm]f(a) = c[/mm] bzw. [mm]f(b) = d[/mm]. Und nach dem Substituieren hat die Variable [mm]y[/mm], in welcher Gestalt auch immer, da nichts mehr verloren! Sie wurde ja gerade substituiert!
Die richtige Rechnung geht daher so:
Zunächst wird [mm]y =f(x), \ \mathrm{d}y = f'(x) \ \mathrm{d}x[/mm] substituiert, danach partiell integriert.
[mm]\int_c^d~f^{-1}(y)~\mathrm{d}y \ = \ \int_a^b~f^{-1} \left( f(x) \right) \cdot f'(x)~\mathrm{d}x \ = \ \int_a^b~x \, f'(x)~\mathrm{d}x \ = \ \left. x \, f(x) \, \right|_{\, a}^{\, b} \ - \ \int_a^b~f(x)~\mathrm{d}x[/mm]
Und jetzt mußt du das nur noch auswerten und zu [mm]\int_a^b~f(x)~\mathrm{d}x[/mm] addieren.
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