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Forum "Uni-Stochastik" - Formel: Ununterscheidbare Kuge
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Formel: Ununterscheidbare Kuge: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Sa 16.07.2005
Autor: wuz

Hallo!

Ich habe leider ein Problem mit einer Formel!
Diese besagt, dass man mit (r-1 über n-1) eine Antwort auf folgende Frage geben kann:
Auf wie viele Arten können r ununterscheidbare Kugeln in n unterscheidbare Urnen verteilt werden, so dass keine leer bleibt!
Als Beispiel nehmen wir 12 Kugeln (r=12) und 3 Urnen (n=3)
(r-1 über n-1) = (11 über 2) = 55

Jetzt gibt es die berühmte Formel: Kombination mit Wiederholung, welche eine Antwort auf folgende Problemstellung liefert: r ununterscheidbare Kugeln werden auf  n Urnen verteilt. In eine Urne dürfen beliebig viele dieser  Kugeln (auch 0) kommen.
Wieder das Beispiel;
r = 12, n=3
(n+r-1 über r) = (3+12-1 über 12)=91

Jetzt mein Problem: Die Diskrepanz zwischen 91 und 55 mit der Unterscheidung, keiner der 3 Urnen darf leer bleiben, ist mir zu groß! Wieso fallen 36 Möglichkeiten weg? Mir würden nur 6 einfallen, wenn wir davon ausgehen, dass l für Urne leer und x für Urne voll steht.
lxx xlx xxl llx xll lxl

Ich bitte um Hilfe, danke!

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://winf.at/forum/read.php?f=13&i=9181&t=9181


        
Bezug
Formel: Ununterscheidbare Kuge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Sa 16.07.2005
Autor: trinkMilch

Jo Hi,

Ich will das Problem mal anders Modellieren.

Die Formel [mm] {n-1}\choose{k-1} [/mm] entspricht auch den geordneten Zahlenpartitionen von n mit k summanden.

also bei deinen Kugeln:

k := Anzahl der Urnen
n := Anzahl der Kugeln

sagen wir
k = 3
n = 12

dann ist:
[mm] x_{1} [/mm] := Anzahl der Kugel in Urne 1
[mm] x_{k} [/mm] := Anzahl der Kugel in Urne k

da haben wir ja die Gleichung:
[mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=n=12 [/mm]

wenn nun gelten soll, dass die Urnen auch leer bleiben dürfen,
dann muss gelten:

[mm] (x_{1}+1)+(x_{2}+2)+(x_{3}+1)=(n+3)=15 [/mm]

jetzt dürfen [mm] x_{1} [/mm] bis [mm] x_{3} [/mm] auch 0 sein, aber die erste Formel gilt immernoch, da 0+1 = 1 ;p

so kommt man dann auf [mm] {n+k-1}\choose{k-1} [/mm]

Und mehr als 6 Möglichkeiten die Weg fallen, fallen mir sofort ein.
Wenn Urne 3 leer ist, dann fallen direkt 12 Möglichkeiten weg,
nämlich dass in Urne 1 alle Kugeln, 11 Kugeln , ......., 1 Kugel, keine Kugel ist. usw...

hoffe konnte helfen...cu  



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