Formel für alle n beweisen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Folge x1,x2,x3,x4...der reellen Zahlen erfülle:
[mm] x_{1}=1, x_{2}=0 [/mm] und [mm] x_{n+2}=x_{n+1}+2x_{n} [/mm] für alle natürlichen Zahlen n.
Beweisen Sie, dass
[mm] x_{n}=\bruch{2^{n}}{6}-\bruch{2\cdot(-1)^{n}}{3}
[/mm]
für alle natürlichen Zahlen n. |
Also wenn ich n=1,2 in
[mm] x_{n}=\bruch{2^{n}}{6}-\bruch{2\cdot(-1)^{n}}{3}
[/mm]
einsetze, erhalte ich ja wie oben, [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{2}=0.
[/mm]
Doch wie soll ich weiter machen ?
Die Formel einmal für n+2, und einmal für n+1 hinschreiben, und zeigen das 2xn rauskommt oder wie ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Mi 22.02.2012 | | Autor: | chrisno |
> Die Folge x1,x2,x3,x4...der reellen Zahlen erfülle:
> [mm]x_{1}=1, x_{2}=0[/mm] und [mm]x_{n+2}=x_{n}+1+2x_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
für alle
> natürlichen Zahlen n.
Das kann man einfacher schreiben: $x_{n+2}=1+3x_{n}
Vermutlich wolltest Du schreiben x_{n+2}=$x_{n+1}+2x_{n}}$
> .....
> Doch wie soll ich weiter machen ?
>
> Die Formel einmal für n+2, und einmal für n+1
> hinschreiben, und zeigen das 2xn rauskommt oder wie ?
Induktionsannahmne: Die Formel stimmmt für n und n+1. Mit diesem Wissen die Formnel für n+2 ausrechnen.
|
|
|
| |
|
> Das kann man einfacher schreiben: [mm]$x_{n+2}=1+3x_{n}[/mm]
> Vermutlich wolltest Du schreiben [mm]x_{n+2}=[/mm] [mm]x_{n+1}+2x_{n}}[/mm]
Richtig, ich habe es mal geändert, damit alles stimmt.
> Induktionsannahmne: Die Formel stimmmt für n und n+1. Mit
> diesem Wissen die Formnel für n+2 ausrechnen.
Okay dann schreibe ich das ganze mal hin
Induktion:
Für n=1 ist,
[mm] x_{1}=\bruch{2}{6}-(-\bruch{2}{3}) [/mm] = 1
n=2
[mm] x_{2}=\bruch{4}{6}-\bruch{2}{3}= [/mm] 0
Sie gilt, also für n=1,2
Soll ich nun
Induktionsschritt: n->n+2 ?
[mm] x_{n+2}=\bruch{2^{n+2}}{6}-\bruch{2\cdot(-1)^{n+2}}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{2\cdot2^{n}}{6}-\bruch{2\cdot(-1)^{n}}{3}
[/mm]
Weil, dass bringt mich doch nun auch irgendwie nicht wirklich weiter.
Oder einfach für [mm] x_{3}, [/mm] wo dann 2 rauskommt ausrechnen ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
nein: der Induktionsschritt muss immer von einer natürlichen Zahl zur nächsten gehen, wenn man eine Aussage für alle n beweisen möchte.
Du hast ja die IV extra für zwei Werte gezeigt. Das war genau aus dem Grund, um jetzt den Inducktionsschluss
A(n+1)=>A(n+2)
durchführen zu können. Bedenke dabei, dass du in die explizite Darstellun g auch schon (n+1) einsetzen darfst, nicht jedoch (n+2).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
> Du hast ja die IV extra für zwei Werte gezeigt. Das war
> genau aus dem Grund, um jetzt den Inducktionsschluss
>
> A(n+1)=>A(n+2)
>
> durchführen zu können. Bedenke dabei, dass du in die
> explizite Darstellung auch schon (n+1) einsetzen darfst,
> nicht jedoch (n+2).
Okay, also gilt die Aussage für n+1 und n, dass bedeutet also ich muss nur noch zeigen dass sie auch für n+2 gilt.
dann darf ich also benutzen, dass xn+2=xn+1 * 2xn ist oder nicht.
Wenn ich dann die gleichheit zeige bin ich fertig ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Okay, also gilt die Aussage für n+1 und n, dass bedeutet
> also ich muss nur noch zeigen dass sie auch für n+2 gilt.
Ja, genau das ist doch der Induktionsschluss.
> dann darf ich also benutzen, dass xn+2=xn+1 * 2xn ist oder
> nicht.
Nein, eben nicht. Also das darf nicht benutzt werden, es muss gezeigt werden.
> Wenn ich dann die gleichheit zeige bin ich fertig ?
Ja.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
