Formel für die totale W'keit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
mir geht es um die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit, aber mit bedingten W'keiten:
Seien [mm] $X_0$, $X_1$ [/mm] zwei reelle Zufallsvariablen, [mm] $B_0$, $B_1$ [/mm] zwei Borel-Mengen.
Dann suche ich eine Begründung, warum
[mm]P(X_0 \in B_0,X_1 \in B_1)=\integral_{\Omega}^{}{ \mathbb{I}_{ \{X_0 \in B_0 \} }(\omega) P(X_1 \in B_1 | X_0)(\omega) P(d\omega)}[/mm].
Ich sehe schon die Ähnlichkeit zur "naiven" Formel für die totale W'keit, aber wie kann ich das denn hier formal beweisen.
Man hat mir geraten Fubini zu nehmen, aber ich sehe absolut nicht wie...
Kann mir jemand helfen?
Danke schonmal!
lg Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Kai,
> mir geht es um die Formel für die totale
> Wahrscheinlichkeit, aber mit bedingten W'keiten:
>
> Seien [mm]X_0[/mm], [mm]X_1[/mm] zwei reelle Zufallsvariablen, [mm]B_0[/mm], [mm]B_1[/mm] zwei
> Borel-Mengen.
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> Dann suche ich eine Begründung, warum
> [mm]P(X_0 \in B_0,X_1 \in B_1)=\integral_{\Omega}^{}{ \mathbb{I}_{ \{X_0 \in B_0 \} }(\omega) P(X_1 \in B_1 | X_0)(\omega) P(d\omega)}[/mm].
>
> Ich sehe schon die Ähnlichkeit zur "naiven" Formel für
> die totale W'keit, aber wie kann ich das denn hier formal
> beweisen.
>
> Man hat mir geraten Fubini zu nehmen, aber ich sehe absolut
> nicht wie...
>
> Kann mir jemand helfen?
Ich probier's mal (allerdings ohne Fubini, ich sehe auch keine Mehrfachintegration?!):
Die bedingte W'keit [mm] $P(A|\mathcal{C})$ [/mm] hat doch die Eigenschaft
[mm] $\integral_C P(A|\mathcal{C})(\omega) P(\mathrm{d}\omega )=P(A\cap [/mm] C)$
für alle [mm] $C\in\mathcal{C}$ [/mm] (wobei [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist).
Für [mm] $C:=\{X_0\in B_0\}$, $A:=\{X_1\in B_1\}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{C}:=\sigma(X_0)$ [/mm] ergibt sich:
[mm] $\integral_{\{X_0\in B_0\}} P(\{X_1\in B_1\}|\sigma(X_0))(\omega) P(\mathrm{d}\omega )=P(\{X_0\in B_0\}\cap\{X_1\in B_1\})$
[/mm]
bzw. durch Notationsvereinbarungen:
[mm] $\integral \mathbb{I}_{ \{X_0 \in B_0 \}} P(X_1\in B_1|X_0)(\omega) P(\mathrm{d}\omega )=P(X_0\in B_0,\ X_1\in B_1)$
[/mm]
Aber vielleicht habt Ihr die bedingte W'keit anders definiert, und es folgt nicht auf diese Weise?
Viele Grüße,
Marc
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