www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra" - Formel für form. Potenzreihe
Formel für form. Potenzreihe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Formel für form. Potenzreihe: Verständnis eines Verfahrens
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 So 03.07.2011
Autor: extasic

Aufgabe
Sei [mm] $\sum_{n \geq 0} a_n x^n [/mm] = [mm] \frac{x-2x^3}{4x^4 - 5x^2 + 1}$ [/mm] gegeben. Zu bestimmen ist eine konkrete Formel für [mm] $a_n$. [/mm]

Dabei soll das Folgende verwendet werden:

Für eine Folge $a = [mm] (a_0 [/mm] , [mm] a_1, \ldots)$ [/mm] von komplexen
Zahlen und ein $d$-Tupel [mm] $(\alpha_1, \ldots, \alpha_d) \in \CC^d$ [/mm]
mit [mm] $\alpha_d \neq [/mm] 0$ sind äquivalent.

i) [mm] $$f_a(x) [/mm] = [mm] \displaystyle{\sum_{n \geq 0} a_n x^n} [/mm] = [mm] \frac{P(x)}{Q(x)}$$ [/mm] mit $$Q(x) = 1 + [mm] \alpha_1 [/mm] t + [mm] \cdots [/mm] + [mm] \alpha_dt^d$$ [/mm]
und einem Polynom $P(x)$ vom Grad $< d$.
ii)
[mm] $$a_{n+d} [/mm] + [mm] \alpha_1 a_{n+d-1} [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] \alpha_d a_n [/mm] = 0 [mm] \mbox{~für~} [/mm] n [mm] \geq [/mm] 0.$$
iii) Für [mm]n \geq 0[/mm] gilt [mm] $$a_n [/mm] = [mm] \displaystyle{\sum_{i=}^k P_i(n) \gamma_i^n}$$ [/mm] mit $$1 + [mm] \alpha_1 [/mm] x + [mm] \cdots [/mm] + [mm] \alpha_dx^d [/mm] =
[mm] \displaystyle{\prod_{i=1}^k (1- \gamma_ix)^{d_i}}$$, [/mm] so dass [mm]\gamma_i \neq \gamma_j[/mm], [mm]1\leq i < j \leq k[/mm]
und [mm]P_i(t)[/mm] ein Polynom vom Grad [mm]< d_i[/mm].

Hallo!

Mir geht es darum das Verfahren zu verstehen, wie aus einer formalen Potenzreihe (wie oben gegeben) eine konkrete Formel für ein [mm]a_n[/mm] durch das Splitten in P(x) und Q(x) gewonnen werden kann. Dies ist ein Extrakt einer Aufgabe.

Wie gehe ich weiter vor? Die Definition oben habe ich in eine Polynomform für Zähler und Nenner gebracht, so dass deg(Zähler) < deg(Nenner). Sind das dann direkt P und Q, oder muss ich noch mehr tun? Wie gewinne ich nun ein konkretes Ergebnis? (Als Tipp wurde "Nullstellen" genannt, aber was genau das damit zu tun hat weiß ich nicht).

Vielen Dank im Voraus!

        
Bezug
Formel für form. Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 So 03.07.2011
Autor: MathePower

Hallo extasic,

> Sei [mm]\sum_{n \geq 0} a_n x^n = \frac{x-2x^3}{4x^4 - 5x^2 + 1}[/mm]
> gegeben. Zu bestimmen ist eine konkrete Formel für [mm]a_n[/mm].
>  
> Dabei soll das Folgende verwendet werden:
>  
> Für eine Folge [mm]a = (a_0 , a_1, \ldots)[/mm] von komplexen
>  Zahlen und ein [mm]d[/mm]-Tupel [mm](\alpha_1, \ldots, \alpha_d) \in \CC^d[/mm]
> mit [mm]\alpha_d \neq 0[/mm] sind äquivalent.
>  
> i) [mm]f_a(x) = \displaystyle{\sum_{n \geq 0} a_n x^n} = \frac{P(x)}{Q(x)}[/mm]
> mit [mm]Q(x) = 1 + \alpha_1 t + \cdots + \alpha_dt^d[/mm]
>  und einem
> Polynom [mm]P(x)[/mm] vom Grad [mm]< d[/mm].
> ii)
>  [mm]a_{n+d} + \alpha_1 a_{n+d-1} + \cdots + \alpha_d a_n = 0 \mbox{~für~} n \geq 0.[/mm]
>  
> iii) Für [mm]n \geq 0[/mm] gilt[mm][/mm][mm] a_n[/mm] = [mm]\displaystyle{\sum_{i=}^k P_i(n) \gamma_i^n}[/mm][mm][/mm]
> mit [mm][/mm]1 + [mm]\alpha_1[/mm] x + [mm]\cdots[/mm] + [mm]\alpha_dx^d[/mm] =
>  [mm]\displaystyle{\prod_{i=1}^k (1- \gamma_ix)^{d_i}}[/mm] [mm][/mm], so
> dass [mm]\gamma_i \neq \gamma_j[/mm], [mm]1\leq i < j \leq k[/mm]
>  und [mm]P_i(t)[/mm]
> ein Polynom vom Grad [mm]< d_i[/mm].
>  Hallo!
>  
> Mir geht es darum das Verfahren zu verstehen, wie aus einer
> formalen Potenzreihe (wie oben gegeben) eine konkrete
> Formel für ein [mm]a_n[/mm] durch das Splitten in P(x) und Q(x)
> gewonnen werden kann. Dies ist ein Extrakt einer Aufgabe.
>  
> Wie gehe ich weiter vor? Die Definition oben habe ich in
> eine Polynomform für Zähler und Nenner gebracht, so dass
> deg(Zähler) < deg(Nenner). Sind das dann direkt P und Q,
> oder muss ich noch mehr tun? Wie gewinne ich nun ein
> konkretes Ergebnis? (Als Tipp wurde "Nullstellen" genannt,
> aber was genau das damit zu tun hat weiß ich nicht).


Das ist so gemeint, daß

[mm]\frac{x-2x^3}{4x^4 - 5x^2 + 1}[/mm]

in Partialbrüche zerlegt werden soll.


>  
> Vielen Dank im Voraus!


Gruss
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de