Formel umstellen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] und ungerade. Finde eine summenfreie Formel für:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k*a^{n-k}*b^{k-1} [/mm] $ |
hallo allerseits!
ich versuche obige aufgabe zu lösen, und habe leider keinen ansatz. wie genau ist "summenfrei" gemeint, eine darstellung ohne das summenzeichen? oder komplett ohne +/- ?
hat jemand einen tip wie ich an die aufgabe rangehen kann?
gruß 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
ich würd sagen:
[mm] $(-1)^k*a^{n-k}*b^{k-1}+...+(-1)^n*a^0*b^{n-1}:n\in\mathbb{N}, n\, mod\, [/mm] 2 = 1$
naja ist nur eine Möglichkeit. Vielleicht gibts noch eine elegantere. Aber unter Summenfrei würde ich "ohne Summenzeichen" verstehen.
|
|
|
| |
|
erstmal danke für die antwort
das kommt mir irgendwie zu einfach vor, bist du sicher das die aufgabe so gemeint ist? *grübel*
|
|
|
| |
|
Hallo student_0815,
Ich denke summenfrei soll ohne Summe und ohne Pünktchen für die angedeutete Summe bedeuten. Sicher nicht völlig ohne +/-.
vielleicht lohnt sich ein Blick auf die geometrische Summe
[mm] \summe_{i=0}^{n}q^i=\bruch{q^{n+1}-1}{q-1}
[/mm]
und nat. die Frage wie man auf diesen Zusammenhang zeigt. Nämlich indem man rechts die Polynomdivision durchzuführen. vielleicht gelingt Dir ja ähnliches für deine Summe. Aber es ist nur so ne Idee
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
danke für tip!
werde mal sehen ob ich es auf die weise gelöst bekomme
|
|
|
| |
|
komme in der richtung nicht weiter, stehe etwas auf dem schlauch. hast du evtl noch einen tip für mich?
grüße
|
|
|
| |
|
Hallo student_0815,
Also nochmal zurück zum Tipp:
[mm] \left(\summe_{i=0}^{n}q^i\right)*(q-1)=\summe_{i=1}^{n+1}q^i-\summe_{i=0}^{n}q^i
[/mm]
Jetzt kann man vorn und hinten ein Summenglied ausgliedern und die Summen fallen weg.
[mm] =q^{n+1}+\summe_{i=1}^{n}q^i-\summe_{i=1}^{n}q^i-1=q^{n+1}-1
[/mm]
Daraus folgt dann die angesprochene Gleichheit.
Für Deine Summe kannst Du dann ähnlich ansetzen:
[mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k\cdot{}a^{n-k}\cdot{}b^{k-1}*(1+c)=...
[/mm]
Wenn Du das c geeignet wählst sollte das genau gleich funktionieren.
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 Do 25.05.2006 | | Autor: | mushroom |
Hallo,
bin auc gerade dabei die Aufgabe zu lösen. Ich denke aber auch, daß es sich bei der summenfreien Darstellung, eher um eine ohne Summenzeichen bzw. Pünktchen handelt.
Beim ersten Blick auf die Formel, viel mir irgendwie der binomische Lehrsatz ein, vielleicht kann man ja auch in diese Richtung irgendwas machen.
Gruß
Markus
|
|
|
| |
|
Hallo,
hat zufällig schon jemand eine Lösung zu dieser Aufgabe gefunden?
Mich würde das Ergebnis wirklich interessieren, hab es selber mal mit dem binomischen Lehrsatz probiert, dass läuft (zumindest bei mir) auf nichts hinaus.
Wenn ich mir die ersten Glieder aufschreibe, kommt was interessantes raus: für n=1 -> [mm] a^{n-1}*(-1)
[/mm]
für n=2 -> [mm] a^{n-1}*(-1+ \bruch{b}{a})
[/mm]
für n=3 -> [mm] a^{n-1}*(-1+ \bruch{b}{a}-\bruch{b^{2}}{a^{2}})
[/mm]
für n=4 -> [mm] a^{n-1}*(-1+ \bruch{b}{a}-\bruch{b^{2}}{a^{2}}+\bruch{b^{3}}{a^{3}}).
[/mm]
lässt sich nicht daraus irgendwas basteln????
|
|
|
| |
|
Hallo nathenatiker,
Das erinnert doch wieder stark an die geometrische Reihe bzw. an den Hinweis den ich schon gegeben hatte oder?
viele Grüße
mathemaduenn
|
|
|
|
