Formel von Bayes < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein zufällig ausgewählter Hörer einer bestimmten Vorlesung besteht die Klausur mit Wahrscheinlichkeit 0.7. Besteht er die Klausur nicht, dann nimmt er an einer mündlichen Nachprüfung teil. Die Gesamtprüfung gilt als bestanden, wenn die Klausur oder die Nachprüfung bestanden wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein in der Klausur durchgefallener Student dem Prüfer A bzw. B bzw. C zugeteilt wird, beträgt erfahrungsgemäß 0.5 bzw. 0.4 bzw. 0.1. Die Wahrscheinlichkeit, bei Prüfer A bzw. B bzw. C die mündliche Nachprüfung zu bestehen, beträgt erfahrungsgemäß 0.6 bzw. 0.1 bzw. 0.9.
(a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm, benennen Sie die einzelnen Knoten und beschriften Sie die Äste mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter STudent die Gesamtprüfung besteht, falls er zu jenen gehört, die die Klausur nicht bestanden haben.
(c) Berechnen Sie die W-keit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Student die Gesamtprüfung besteht.
(d) Bestimmen Sie die W-keit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Student in der Klausur durchgefallen ist, falls er die Gesamtprüfung bestanden hat.
Hinweis: Verwenden Sie die Formel von Bayes. |
So einen wunderschönen guten Morgen. Normalerweise bin ich ja in Stochastik recht gut, aber hier scheitere ich an einer Verständnisfrage bezüglich der Formel von Bayes. Bzw. es hängt alles am Baumdiagramm, weil ich ja nach Bayes nichts anders mache, als den günstigen Pfad durch alle möglichen Pfade für ein gewünschtes Ereignis zu teilen. Daher wollen wir mit dem Baumdiagramm anfangen, denn wenn das falsch ist, kann die Aufgabe ja nur falsch gelöst werden...
Problem waren die letzten angegebenen W-keiten. Eigentlich hätte dort wie bei den Prüfern stehen müssen: Die W-keit dafür, dass man die mündliche Prüfung bei einem Prüfer besteht, wenn man durch die Klausur gefallen ist und diesem zugeteilt wurde, beträgt x. Dann wäre es ganz klar. So ist aber nur die W-keit angegeben, die mündliche Prüfung zu bestehen. Streng genommen dürfte ich also an meinen letzten Pfad diese angegebenen W-keiten gar nicht schreiben, aber mir fällt keine andere Variante ein. Ich muss doch mit der Klausur starten, danach kommt die Einteilung zu den Prüfern und dann das bestehen der mündlichen Prüfung, oder nicht? Bzw. wenn ich die W-keiten für das bestehen der mündlichen Prüfung ausrechnen muss (da bedingt), wie geht das in diesem Falle?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie man sieht, habe ich eben mit der Klausur angefangen, dort gibt es bestanden (K) und nicht bestanden [mm] ($K^C$). [/mm] Danach wird man einem von drei Prüfern zugeteilt [mm] ($P_A,P_B,P_C$). [/mm] Schlussendlich gilt es, die mündliche Prüfung zu bestehen [mm] ($M,M^C$). [/mm] Das müsste doch eigentlich korrekt sein? Die Farben sind ja unten erklärt, jede Farbe repräsentiert den Pfad zur entsprechenden Aufgabe.
also zu (b):
Wenn gefragt ist nach der W-keit dafür, dass jemand die Gesamtprüfung besteht, obwohl er durch die Klausur gefallen ist, ist das die totale W-keit aller Pfade bzw. des Ereignisses, die zu M führen, unter der Voraussetzung, das [mm] $K^C$ [/mm] eingetreten ist, also alle drei Pfade, die bei [mm] $K^C$ [/mm] beginnen und zu M führen. Das ist bei mir [mm] $P(M|K^C)$.
[/mm]
zu (c):
Wenn nach der totalen Wahrscheinlichkeit für das Ereignis: Bestanden gefragt wird, so muss ich alle Pfade zählen, die zu bestanden führen. Das sind alle aus Aufgabenteil (b) + den Pfad $P(K)$, da die Klausur ja auch direkt bestanden werden kann.
zu (d):
Und hier ist jetzt mein Problem! Gesetz dem Falle, mein Baumdiagramm stimmt, so soll ich jetzt den Pfad bestimmen, der zum Ereignis Klausur nicht bestanden [mm] ($K^C$) [/mm] führt und diesen durch alle Pfade dividieren, die zum Ergebnis Gesamtprüfung bestanden führen. Und genau das ergibt hier keinen Sinn. Bei Bayes ist es doch immer so, dass man EINEN Pfad hat, der das erwünschte Ergebnis präsentiert und diesen durch alle Pfadwahrscheinlichkeiten teilt, die ebenfalls zum Ergebnis B führen. Die Formel brauche ich ja nicht angeben. Mein Problem ist aber, dass Es hier keinen gewünschten Pfad gibt! Alle PFade führen ja über den ersten Teilpfad von [mm] $K^C$ [/mm] Ich kann also nicht einen gewünschten Pfad angeben, alle Pfade teilen sich das Ereignis Klausur nicht bestanden.
Also muss mein Baumdiagramm doch falsch sein?!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Di 17.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Deine Gedanken zu den Aufgaben a) bis c) sind korrekt.
Zu Aufgabe d.
Wende den Satz von Bayes mal auf die 30% Klausurdurchfaller an.
Wieviele Prozent dieser "Klausurduchfaller" bestehen denn dann die Nachprüfung?
Zu Prüfer A kommen 50% der Duchfaller, von diesen bestehen nun 60%
Das sind [mm] 0,3\cdot0,5\cdot0,6=0,09, [/mm] also 9% der gesamten Prüflinge, die bei Prüfer A bestehen.
zu Prüfer B kommen 40% der Klausurdurchfaller, und 10% dieser bestehen.
Also bestehen [mm] 0,3\cdot0,4\cdot0,1=0,012 [/mm] also 1,2% der Gesamten Prüflinge
Bei Prüfer C bestehen analog 2,7% der Gesamtmenge.
Hilft das schonmal weiter?
Marius
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Danke dir erstmal für die schnelle Antwort ;)
Mein Selbstwertgefühl ist wieder hergestellt ;)
Nein aber im Ernst, so habe ich ja bisher auch die d berechnet bzw. deine Teilergebnisse brauchte ich ja auch schon für die vorherigen Aufgaben.
Also müsste es ja doch stimmen, was ich bisher gerechnet haben?
Also ich habe mir gesagt: gewünschte Pfade sind praktisch alle, die über [mm] $K^C$ [/mm] laufen und bei M enden. Das sind genau deine 3 erwähnten. Wenn ich die jetzt durch alle möglichen teilen soll, bleibt ja nur noch zusätzlich der Pfad zu $K$, also direkt bestanden. Das Ergebnis war rund 32 %. Ist das dann tatsächlich das richtige Ergebnis bei dieser Aufgabe? Dann habe ich mich nur davon irritieren lassen, dass nicht ein Pfad zum gewünschten Ergebnis führt, sondern in diesem Falle 3?
> Hallo.
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> Deine Gedanken zu den Aufgaben a) bis c) sind korrekt.
>
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> Zu Aufgabe d.
>
> Wende den Satz von Bayes mal auf die 30% Klausurdurchfaller
> an.
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> Wieviele Prozent dieser "Klausurduchfaller" bestehen denn
> dann die Nachprüfung?
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> Zu Prüfer A kommen 50% der Duchfaller, von diesen bestehen
> nun 60%
> Das sind [mm]0,3\cdot0,5\cdot0,6=0,09,[/mm] also 9% der gesamten
> Prüflinge, die bei Prüfer A bestehen.
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> zu Prüfer B kommen 40% der Klausurdurchfaller, und 10%
> dieser bestehen.
> Also bestehen [mm]0,3\cdot0,4\cdot0,1=0,012[/mm] also 1,2% der
> Gesamten Prüflinge
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> Bei Prüfer C bestehen analog 2,7% der Gesamtmenge.
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> Hilft das schonmal weiter?
>
> Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Di 17.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
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> Danke dir erstmal für die schnelle Antwort ;)#
Bitte
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> Mein Selbstwertgefühl ist wieder hergestellt ;)
Schön zu wissen.
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> Nein aber im Ernst, so habe ich ja bisher auch die d
> berechnet bzw. deine Teilergebnisse brauchte ich ja auch
> schon für die vorherigen Aufgaben.
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> Also müsste es ja doch stimmen, was ich bisher gerechnet
> haben?
Ja, in der Tat.
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> Also ich habe mir gesagt: gewünschte Pfade sind praktisch
> alle, die über [mm]K^C[/mm] laufen und bei M enden. Das sind genau
> deine 3 erwähnten. Wenn ich die jetzt durch alle
> möglichen teilen soll, bleibt ja nur noch zusätzlich der
> Pfad zu [mm]K[/mm], also direkt bestanden. Das Ergebnis war rund 32
> %. Ist das dann tatsächlich das richtige Ergebnis bei
> dieser Aufgabe? Dann habe ich mich nur davon irritieren
> lassen, dass nicht ein Pfad zum gewünschten Ergebnis
> führt, sondern in diesem Falle 3?
Wahrscheinlich ja.
Marius
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