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| Aufgabe | Finden Sie eine Formel für die Summe
1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+2+1
für n [mm] \in \IN [/mm] und begründen sie diese geometrisch (unter Verwendung von Punktemustern). |
2 * [mm] \summe_{k=1}^{n-1}k [/mm] +n
Verstehe allerdings nun nicht, was mit Punktemustern gemeint ist?
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> Finden Sie eine Formel für die Summe
>
> 1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+2+1
>
> für n [mm]\in \IN[/mm] und begründen sie diese geometrisch (unter
> Verwendung von Punktemustern).
> 2 * [mm]\summe_{k=1}^{n-1}k[/mm] +n
Für die Summe ist eine Formel gesucht, die selber
keinen Summenterm mehr einschließt !
> Verstehe allerdings nun nicht, was mit Punktemustern
> gemeint ist?
Guten Abend gosejohann,
es ist ziemlich leicht, Reihen von Punkten mit den
Längen 1, 2, 3, ...., (n-1), n, (n-1), ....., 2, 1
derart anzuordnen, dass sie zusammen ein einfaches
geometrisches Muster bilden.
LG, Al-Chw.
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Ok, Formel ist dann f(n) = [mm] n^2
[/mm]
Hast du vielleicht einen Link, wo das mit dem geometrischen Muster erklärt ist, so dass ich es mir dadurch herleiten könnte?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich habe hier keine Ahnung, was Punktemuster sind, aber das
> Ok, Formel ist dann f(n) = [mm]n^2[/mm]
ist richtig - wenn [mm] $f(n)\,$ [/mm] abkürzend für die gesuchte Summe steht. Ein
nichtgeometrischer Beweis geht mit dem kleinen Gauß:
[mm] $$2*\big(\sum_{k=1}^{n-1}k\big)+n=2*\frac{(n-1)*n}{2}+n=n^2-n+n=n^2\,.$$
[/mm]
Ich vermute aber, dass ihr den kleinen Gauß noch gar nicht verwenden
dürft, sondern diese Aufgabe eben auf eine Herleitung des kleinen Gaußes
abzielt.
Aber was das Punktemuster betrifft: Damit kenne ich mich nicht aus.
P.S. Beweis des kleinen Gauß:
Sei [mm] $\sum_{k=1}^n k=:s_n\,,$ [/mm] dann gilt auch [mm] $\sum_{k=1}^n (n+1-k)=s_n\,.$
[/mm]
Es folgt
[mm] $$2s_n=s_n+s_n=\sum_{k=1}^n k+\Big(\sum_{k=1}^n (n+1-k)\Big)\,,$$
[/mm]
und daraus ist der kleine Gauß fast direkt ersichtlich (minimal rechnen
sollte man noch).
P.P.S. Beachte, dass ich den kleinen Gauß auf [mm] $\sum_{k=1}^\red{n-1} [/mm] k$
angewendet habe!
Gruß,
Marcel
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Hallo gosejohann,
hast Du Kästchenpapier? Dann leg mal ein Blatt "gerade" vor Dich.
So, jetzt drehst Du es (um eine zur Tischoberfläche senkrechte Achse) um 45°, egal in welche Richtung.
Markiere nun einen Schnittpunkt der vorgedruckten Linien.
Dann markiere die beiden mit dem ersten Punkt durch Linien verbundenen, die über ihm liegen.
Als nächstes die drei, die mit den letzten beiden verbunden sind und über ihnen liegen.
... solange, bis Du den Schritt erreichst, in dem Du n neue Punkte zu markieren hast.
Dann folgt der zweite Teil:
Markiere nun alle Punkte, die über den letzten n markierten liegen und mit zweien von ihnen durch Linien verbunden sind. Das sind (n-1) Punkte.
Dann wieder die darüber liegenden, mit zwei Linien verbundenen... Das sind (n-2) Punkte.
Mach weiter, bis Du nur noch einen Punkt neu markiert hast.
Jetzt dreh Dein Papier noch mal um 45°.
Und?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo gosejohann,
> Ok, Formel ist dann f(n) = [mm]n^2[/mm]
>
> Hast du vielleicht einen Link, wo das mit dem geometrischen
> Muster erklärt ist, so dass ich es mir dadurch herleiten
> könnte?
eine Alternative zu reverents Methode wäre:
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Linkes Bild: die Spalten beschreiben die einzelnen Summanden 1, 2, 3, ... , n (hier für n=6)
Rechtes Bild: Ordne die Punkte um. Die roten Punkte werden gedreht und oben rechts angefügt. Es entsteht ein Quadrat mit einer Seitenlänge von n Punkten.
Lieben Gruß,
Fulla
EDIT: Leider hat es die Anordnung der Punkte etwas zerschossen, aber ich denke, man sieht, was ich meine: die Punkte sollen ein Dreieck bilden, dass dann zu einem flächengleichen (die Anzahl der Punkte bleibt gleich) Quadrat umgeformt wird.
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