Fortsetzbar, total diffbare Fk < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:19 Di 30.06.2009 | | Autor: | Potus |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^n \backslash \{0\} ->\IR [/mm] total differenzierbar, [mm] g:\IR^n ->\IR [/mm] stetig mit g(0)=0 und es gilt [mm] \parallel Df(x)\parallel\le [/mm] g(x) für alle [mm] x\in\IR^n \backslash \{0\}, [/mm] wobei Df(x) die Jacobi-Matrix von f in x ist.
ZZ: Es existiert eine funktion [mm] h:\IR^n ->\IR, [/mm] die total differenzierbar ist, mit h(x)=f(x) für alle [mm] x\in\IR^n \backslash \{0\}. [/mm] |
Leider hatten wir noch nicht den Mittelwertsatz (MWS) für [mm] \IR^n [/mm] ,also dürfen wir diesen nicht verwenden.
Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht über die Startlinie hinaus!
Was sagt mir z.B. die Bedingung [mm] \parallel Df(x)\parallel\le [/mm] g(x) für alle [mm] x\in\IR^n \backslash \{0\} [/mm] ?
Das einzige was ich mir bis jetzt gedacht habe ist, dass
[mm] h(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{fuer } x \not=0 \\ ???, & \mbox{fuer } x=0 \end{cases}
[/mm]
Dann müsste man differenzierbar nur für x=0 zeigen.
Aber wie bekomme ich raus, was "???" ist?
Danke.
UPDATE(!): Der Mittelwersatz ist nun im [mm] \IR^n [/mm] verfügbar. (Wurde in der Vorlsung nun behandelt).
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=125305
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Mi 01.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Das einzige was ich mir bis jetzt gedacht habe ist, dass
> [mm]h(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{fuer } x \not=0 \\ ???, & \mbox{fuer } x=0 \end{cases}[/mm]
Richtig. Nun soll ja h im Punkt differenzierbar, also auch stetig sein. Das ist aber nur möglich, wenn f im Punkt 0 stetig fortsetzbar ist, d.h. du musst zeigen dass [mm] $\lim_{x\to 0}f(x)=:\xi$ [/mm] existiert und dann setzt du [mm] $h(0)=\xi$ [/mm] und zeigst, dass h in 0 differenzierbar ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Mi 01.07.2009 | | Autor: | Potus |
Also ich würde nun sagen, dass ???=c mit [mm] c\in\IR^n [/mm] ist. Und nach dem Mittelwertsatz (Update beachten)
ist nimmt f dieses c im Limes x->0 an.
Jetzt bräuchte ich noch ein bisschen formale Hilfe (voraussgesetzt: Mein Lösungsansatz ist richtig).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 Mi 01.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> Also ich würde nun sagen, dass ???=c mit [mm]c\in\IR^n[/mm] ist.
Das ist tautologisch.
> Und nach dem Mittelwertsatz (Update beachten)
> ist nimmt f dieses c im Limes x->0 an.
Und warum ist das so? Hast du dir dazu schon etwas überlegt? Die Idee ist: wenn du nahe an 0 ist, folgt, dass der Abstand zwischen den Bildpunkten klein ist. Der MWS interpoliert hier die Strecke zwischen zwei Punkten, und daher kann man diesen Abstand abschätzen.
> Jetzt bräuchte ich noch ein bisschen formale Hilfe
> (voraussgesetzt: Mein Lösungsansatz ist richtig).
Hm, mach erstmal einen Lösungsansatz mit obiger Idee - mehr als "man braucht den MWS" hast du nicht als Ansatz - das ist eher dürftig.
SEcki
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