Fortsetzbarkeit Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass $f(z) = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*z^{n}$ [/mm] auf [mm] \{z\in\IC:|z|<1\} [/mm] holomorph ist und auf [mm] \IC\backslash\{-1\} [/mm] holomorph fortsetzbar ist. Geben Sie von der (einzig möglichen) Fortsetzung die Potenzreihenentwicklung um [mm] $z_{0}=i$ [/mm] und deren Konvergenzradius an. |
Hallo!
Durch Maple weiß ich, dass $f(z) = [mm] \bruch{-1}{1+z}$. [/mm] Damit machen natürlich alle Forderungen aus der Fragestellung Sinn, aber ich denke, dass man die Funktion ohne Potenzreihendarstellung im Allgemeinen nicht kennt.
Was man direkt an der Potenzreihe von $f(z)$ ablesen kann, ist dass um [mm] $z_{0} [/mm] = 0$ entwickelt wurde und der Konvergenzradius 1 ist. Kann man nun direkt folgern, weil f(z) sich mit einer Potenzreihe und Konvergenzradius 1 um Punkt 0 darstellen lässt, dass sie dann holomorph auf [mm] \{z\in\IC:|z|<1\} [/mm] ist? Welcher Satz besagte das nochmal?
Ich weiß nicht genau, wie ich zeigen kann, dass f(z) nun auf ganz [mm] \IC [/mm] fortsetzbar ist. Könnt ihr mir da einen Ansatz geben?
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Wenn ich nur die Potenzreihendarstellung von f(z) um 0 kenne, kann ich folgendermaßen auf die um den Punkt i kommen:
[mm] $z^{n} [/mm] = [mm] (z-i+i)^{n} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*(i)^{n-k}*(z-i)^{k}$
[/mm]
Und nun in die Ursprungsreihe einsetzen:
$f(z) = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*z^{n} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\left(\sum_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*(i)^{n-k}*(z-i)^{k}\right) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\left(\sum_{k=0}^{n}\bruch{n!}{k!*(n-k)!}*(i)^{n-k}*(z-i)^{k}\right) [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*n!*\left(\sum_{k=0}^{n}\bruch{(i)^{n-k}}{(n-k)!}*\bruch{(z-i)^{k}}{k!}\right)$
[/mm]
Nun dachte ich mir, könnte ich ein wenig mit dem Cauchy-Produkt rumprobieren, weil das ja noch keine richtig Potenzreihendarstellung ist:
$f(z) = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*n!*\left(\sum_{k=0}^{n}\bruch{(i)^{n-k}}{(n-k)!}*\bruch{(z-i)^{k}}{k!}\right) [/mm] = [mm] \left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*n!*\bruch{(z-i)^{n}}{n!}\right)*\left(\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{(i)^{n}}{n!}\right) [/mm] = [mm] \left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*(z-i)^{n}\right)*\left(\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{(i)^{n}}{n!}\right)$
[/mm]
Sozusagen wäre jetzt
$f(z) = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}*(z-i)^{n}$
[/mm]
mit
[mm] $a_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}*\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{i^{k}}{k!}$
[/mm]
Hab ich da jetzt was vermasselt oder stimmt das so?
Viele Grüße und danke für Eure Hilfe!
Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass [mm]f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*z^{n}[/mm]
> auf [mm]\{z\in\IC:|z|<1\}[/mm] holomorph ist und auf
> [mm]\IC\backslash\{-1\}[/mm] holomorph fortsetzbar ist. Geben Sie
> von der (einzig möglichen) Fortsetzung die
> Potenzreihenentwicklung um [mm]z_{0}=i[/mm] und deren
> Konvergenzradius an.
> Hallo!
>
> Durch Maple weiß ich, dass [mm]f(z) = \bruch{-1}{1+z}[/mm].
$ f(z) = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot{}z^{n} [/mm] $ ist doch eine geometrische Reihe !!. Diese konv. für |z|<1
> Damit
> machen natürlich alle Forderungen aus der Fragestellung
> Sinn, aber ich denke, dass man die Funktion ohne
> Potenzreihendarstellung im Allgemeinen nicht kennt.
>
> Was man direkt an der Potenzreihe von [mm]f(z)[/mm] ablesen kann,
> ist dass um [mm]z_{0} = 0[/mm] entwickelt wurde und der
> Konvergenzradius 1 ist. Kann man nun direkt folgern, weil
> f(z) sich mit einer Potenzreihe und Konvergenzradius 1 um
> Punkt 0 darstellen lässt, dass sie dann holomorph auf
> [mm]\{z\in\IC:|z|<1\}[/mm] ist? Welcher Satz besagte das nochmal?
Eine Potenzreihe stellt auf ihrer offenen Konvergenzkreisscheibe eine holomorphe Funktion dar. (diesen Satz hattet ihr sicher)
>
> Ich weiß nicht genau, wie ich zeigen kann, dass f(z) nun
> auf ganz [mm]\IC[/mm] fortsetzbar ist.
Das ist nicht der Fall !!
Du sollst zeigen, dass f auf $ [mm] \IC\backslash\{-1\} [/mm] $ holomorph fortsetzbar ist.
Das hast Du aber schon gezeigt: Für |z|<1 ist $ f(z) = [mm] \bruch{-1}{1+z} [/mm] $. Die Funktion $ z [mm] \to \bruch{-1}{1+z}$ [/mm] ist aber auf $ [mm] \IC\backslash\{-1\} [/mm] $ holomorph
> Könnt ihr mir da einen Ansatz
> geben?
>
> ---------
>
> Wenn ich nur die Potenzreihendarstellung von f(z) um 0
> kenne, kann ich folgendermaßen auf die um den Punkt i
> kommen:
>
> [mm]z^{n} = (z-i+i)^{n} = \sum_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*(i)^{n-k}*(z-i)^{k}[/mm]
>
> Und nun in die Ursprungsreihe einsetzen:
>
> [mm]f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*z^{n} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\left(\sum_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*(i)^{n-k}*(z-i)^{k}\right) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*\left(\sum_{k=0}^{n}\bruch{n!}{k!*(n-k)!}*(i)^{n-k}*(z-i)^{k}\right) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*n!*\left(\sum_{k=0}^{n}\bruch{(i)^{n-k}}{(n-k)!}*\bruch{(z-i)^{k}}{k!}\right)[/mm]
>
> Nun dachte ich mir, könnte ich ein wenig mit dem
> Cauchy-Produkt rumprobieren, weil das ja noch keine richtig
> Potenzreihendarstellung ist:
>
> [mm]f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*n!*\left(\sum_{k=0}^{n}\bruch{(i)^{n-k}}{(n-k)!}*\bruch{(z-i)^{k}}{k!}\right) = \left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*n!*\bruch{(z-i)^{n}}{n!}\right)*\left(\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{(i)^{n}}{n!}\right) = \left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}*(z-i)^{n}\right)*\left(\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{(i)^{n}}{n!}\right)[/mm]
>
> Sozusagen wäre jetzt
>
> [mm]f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}*(z-i)^{n}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]a_{n} = (-1)^{n+1}*\sum_{k=0}^{\infty}\bruch{i^{k}}{k!}[/mm]
>
> Hab ich da jetzt was vermasselt oder stimmt das so?
Das geht doch viel einfacher:
[mm] $\bruch{-1}{1+z} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{z-i+i+1}= \bruch{-1}{(i+1)(1+\bruch{z-i}{i+1})} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{1+i}*\bruch{1}{1+\bruch{z-i}{i+1}}$
[/mm]
Jetzt geometrische Reihe
FRED
>
> Viele Grüße und danke für Eure Hilfe!
> Stefan.
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Vielen Dank, fred, für deine Antwort!
Das ich die geometrische Reihe nicht gesehen habe, war blöd von mir.
Ich wollte nun nur nochmal fragen: in der Aufgabe ist die ganze Zeit von "Fortsetzbarkeit" usw. die Rede. Muss ich dazu beim Aufschreiben mal ein Wort verlieren oder soll ich einfach sagen die Funktion f(z) = [mm] \bruch{-1}{1+z} [/mm] ist holomorph auf [mm] \IC\backslash\{-1\} [/mm] und das wars?
Entsprechend deiner Gleichung kann ich ja schreiben:
$f(z) = [mm] \bruch{-1}{1+z} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{1+i}*\bruch{1}{1+\bruch{z-i}{i+1}} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{-1}{1+i}\right)*\left(-\bruch{z-i}{i+1}\right)^{n} =\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{(-1)^{n+1}}{(1+i)^{n+1}}\right)*(z-i)^{n}$
[/mm]
Der Konvergenzradius r wäre dann:
$r = [mm] \lim_{n\to\infty}\left|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}\right| [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\left|\bruch{(-1)^{n+1}*(1+i)^{n+2}}{(1+i)^{n+1}*(-1)^{n+2}}\right| [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\left|1+i\right| [/mm] = [mm] \sqrt{2}$.
[/mm]
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Viele Grüße und danke für Eure Hilfe, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Do 04.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank, fred, für deine Antwort!
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> Das ich die geometrische Reihe nicht gesehen habe, war blöd
> von mir.
> Ich wollte nun nur nochmal fragen: in der Aufgabe ist die
> ganze Zeit von "Fortsetzbarkeit" usw. die Rede. Muss ich
> dazu beim Aufschreiben mal ein Wort verlieren oder soll ich
> einfach sagen die Funktion f(z) = [mm]\bruch{-1}{1+z}[/mm] ist
> holomorph auf [mm]\IC\backslash\{-1\}[/mm] und das wars?
Ja, das genügt
>
> Entsprechend deiner Gleichung kann ich ja schreiben:
>
> [mm]f(z) = \bruch{-1}{1+z} = \bruch{-1}{1+i}*\bruch{1}{1+\bruch{z-i}{i+1}} = \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{-1}{1+i}\right)*\left(-\bruch{z-i}{i+1}\right)^{n} =\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{(-1)^{n+1}}{(1+i)^{n+1}}\right)*(z-i)^{n}[/mm]
>
> Der Konvergenzradius r wäre dann:
>
> [mm]r = \lim_{n\to\infty}\left|\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\bruch{(-1)^{n+1}*(1+i)^{n+2}}{(1+i)^{n+1}*(-1)^{n+2}}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|1+i\right| = \sqrt{2}[/mm].
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alles richtig
FRED
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> Viele Grüße und danke für Eure Hilfe, Stefan.
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