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| Aufgabe | f: ]-pi,pi] -> R
[mm]f(x)= |x| [/mm]
Berechne die Fourier-Koeffizienten zu f. |
Es ist nach meiner vorliegenden Lösung:
[mm] a_{k}= \bruch{1}{ \pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{|x|cos(kx) dx}=\bruch{1}{ \pi}\integral_{-\pi}^{0}{(-x)cos(kx) dx} + \bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx} [/mm]
Substitution: x:=-t
[mm] a_{k}= \bruch{-1}{ \pi}\integral_{\pi}^{0}{tcos(-kt) dt} + \bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx} [/mm] (1)
[mm] = \bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx} [/mm] (2)
_______
Fragen zu den Umformungen:
bzgl (1):
- nach der Subst. steht im linken Summanden ja "-dt", wobei das "-" dann vor das Integral gezogen wird, oder?
- warum ändert sich im linken Summanden die linke Integratiosngrenze, dh deren Vorzeichen?
zu (2):
es gilt ja cos(-kt)=cos(kt) (3):
- kann ich sagen, die beiden Integrale sind gleichwertig wegen (3), also "diese Integrale:=X", wodurch sich durch Umdrehen der Integrationsgrenzen bzgl. des linken Summanden (ein weiteres "-1" vor das Integral) ergibt:
[mm] ...= (-1)*\bruch{-1}{ \pi}X + \bruch{1}{ \pi}X = \bruch{2}{ \pi}X [/mm]
mit
[mm] X=\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx}
[/mm]
Kann man das so sagen oder ist das zu abenteuerlich?
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Hallo geigenzaehler,
> f: ]-pi,pi] -> R
> [mm]f(x)= |x|[/mm]
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> Berechne die Fourier-Koeffizienten zu f.
> Es ist nach meiner vorliegenden Lösung:
>
>
> [mm]a_{k}= \bruch{1}{ \pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{|x|cos(kx) dx}=\bruch{1}{ \pi}\integral_{-\pi}^{0}{(-x)cos(kx) dx} + \bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx} [/mm]
>
> Substitution: x:=-t
>
> [mm]a_{k}= \bruch{-1}{ \pi}\integral_{\pi}^{0}{tcos(-kt) dt} + \bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx} [/mm]
> (1)
>
> [mm]= \bruch{2}{\pi}\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx} [/mm]
> (2)
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> _______
>
> Fragen zu den Umformungen:
>
> bzgl (1):
> - nach der Subst. steht im linken Summanden ja "-dt",
> wobei das "-" dann vor das Integral gezogen wird, oder?
> - warum ändert sich im linken Summanden die linke
> Integratiosngrenze, dh deren Vorzeichen?
>
MIt der Substitution ändern sich auch die Integrationsgrenzen.
> zu (2):
> es gilt ja cos(-kt)=cos(kt) (3):
> - kann ich sagen, die beiden Integrale sind gleichwertig
> wegen (3), also "diese Integrale:=X", wodurch sich durch
> Umdrehen der Integrationsgrenzen bzgl. des linken Summanden
> (ein weiteres "-1" vor das Integral) ergibt:
>
Ja, die beiden Integrale sind gleichwertig.
Beachte die Symmetrie des Cosinus zur y-Achse.
> [mm]...= (-1)*\bruch{-1}{ \pi}X + \bruch{1}{ \pi}X = \bruch{2}{ \pi}X [/mm]
>
> mit
>
>
> [mm]X=\integral_{0}^{\pi}{xcos(kx) dx}
[/mm]
> Kann man das so
> sagen oder ist das zu abenteuerlich?
Ja, das kann man so sagen.
Gruss
MathePower
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