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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Do 17.02.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Funktion:
x - > [mm] \pi [/mm] + 2cos(x/2)
Bestimme die Fourier Reihe! |
Ich hab nun schon mal überprüft ob sie [mm] 2\pi [/mm] Periodisch ist und das ist sie nicht, sonder [mm] 4\pi [/mm] periodisch.
Nun kann ich ja schon sagen, dass bj = 0 ist, da die Funktion Achsensymmetrisch ist.
f(x) = [mm] \bruch{a_0}{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (a_j cos(\bruch{jx}{2}) [/mm] + 0 [mm] sin(\bruch{jx}{2}))
[/mm]
aj = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{-2\pi}^{2\pi}(\pi [/mm] + 2cos(x/2)) * [mm] cos(\bruch{jx}{2}) [/mm] dx
= [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{-2\pi}^{2\pi} (\pi cos(\bruch{jx}{2})) [/mm] + [mm] \integral_{-2\pi}^{2\pi} [/mm] (2 [mm] cos(\bruch{x}{2})* cos(\bruch{jx}{2})) [/mm]
Integriert zum einen mit partieller Integration erhalte ich:
= [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] [ [mm] \pi [/mm] * [mm] sin(\bruch{jx}{2}) [/mm] * [mm] \bruch{2}{j}] [/mm] + [ [mm] \bruch{cos(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{jx}{2}) \bruch{2}{j} - sin(\bruch{x}{2}) * cos(\bruch{jx}{2}) \bruch{2}{j^2}}{1-j^2}]
[/mm]
Die Grenzen sind noch nicht eingesetzt:
Ist das bis hier korrekt?
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Hallo zocca21,
> Funktion:
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> x - > [mm]\pi[/mm] + 2cos(x/2)
>
> Bestimme die Fourier Reihe!
> Ich hab nun schon mal überprüft ob sie [mm]2\pi[/mm] Periodisch
> ist und das ist sie nicht, sonder [mm]4\pi[/mm] periodisch.
>
> Nun kann ich ja schon sagen, dass bj = 0 ist, da die
> Funktion Achsensymmetrisch ist.
>
> f(x) = [mm]\bruch{a_0}{2}[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (a_j cos(\bruch{jx}{2})[/mm]
> + 0 [mm]sin(\bruch{jx}{2}))[/mm]
>
> aj = [mm]\bruch{1}{2\pi} \integral_{-2\pi}^{2\pi}(\pi[/mm] +
> 2cos(x/2)) * [mm]cos(\bruch{jx}{2})[/mm] dx
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} \integral_{-2\pi}^{2\pi} (\pi cos(\bruch{jx}{2}))[/mm]
> + [mm]\integral_{-2\pi}^{2\pi}[/mm] (2 [mm]cos(\bruch{x}{2})* cos(\bruch{jx}{2}))[/mm]
>
> Integriert zum einen mit partieller Integration erhalte
> ich:
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi}[/mm] [ [mm]\pi[/mm] * [mm]sin(\bruch{jx}{2})[/mm] *
> [mm]\bruch{2}{j}][/mm] + [
> [mm]\bruch{cos(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{jx}{2}) \bruch{2}{j} - sin(\bruch{x}{2}) * cos(\bruch{jx}{2}) \bruch{2}{j^2}}{1-j^2}][/mm]
Die rot markierten Faktoren in dem Ausdruck
[mm][\bruch{cos(\bruch{x}{2})*sin(\bruch{jx}{2}) \red{\bruch{2}{j}} - sin(\bruch{x}{2}) * cos(\bruch{jx}{2}) \red{\bruch{2}{j^2}}}{1-j^2}][/mm]
stimmen nicht.
>
> Die Grenzen sind noch nicht eingesetzt:
>
> Ist das bis hier korrekt?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Do 17.02.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok das ist ja das Integral:
[mm] \integral cos(\bruch{x}{2})\cdot{} cos(\bruch{jx}{2}))
[/mm]
in dem sich der Fehler versteckt:
= [mm] cos(\bruch{x}{2}) sin(\bruch{jx}{2}) [/mm] * [mm] \bruch{2}{j} [/mm] - [mm] sin(\bruch{x}{2}) cos(\bruch{jx}{2}) [/mm] * [mm] \bruch{2}{j^2} [/mm] + [mm] \integral cos(\bruch{x}{2}) [/mm] * [mm] cos(\bruch{jx}{2}= \bruch{2}{j^2}
[/mm]
Nun habe ich wohl vergessen die 2* wieder mit hineinzuziehen? Welche ich bei der Nebenrechnung der partiellen Integration außen vorgelassen habe.
Ist dann folgendes korrekt?
= [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] ([ [mm] \pi [/mm] * [mm] sin(\bruch{jx}{2}) [/mm] * [mm] \bruch{2}{j}] [/mm] + [mm] [\bruch{cos(\bruch{x}{2})\cdot{}sin(\bruch{jx}{2}) \bruch{4}{j} - sin(\bruch{x}{2}) \cdot{} cos(\bruch{jx}{2}) \bruch{4}{j^2}}{1-j^2}])
[/mm]
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Hallo zocca21,
> Ok das ist ja das Integral:
>
> [mm]\integral cos(\bruch{x}{2})\cdot{} cos(\bruch{jx}{2}))[/mm]
>
> in dem sich der Fehler versteckt:
>
> = [mm]cos(\bruch{x}{2}) sin(\bruch{jx}{2})[/mm] * [mm]\bruch{2}{j}[/mm] -
> [mm]sin(\bruch{x}{2}) cos(\bruch{jx}{2})[/mm] * [mm]\bruch{2}{j^2}[/mm] +
> [mm]\integral cos(\bruch{x}{2})[/mm] * [mm]cos(\bruch{jx}{2}= \bruch{2}{j^2}[/mm]
>
> Nun habe ich wohl vergessen die 2* wieder mit
> hineinzuziehen? Welche ich bei der Nebenrechnung der
> partiellen Integration außen vorgelassen habe.
>
> Ist dann folgendes korrekt?
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi}[/mm] ([ [mm]\pi[/mm] * [mm]sin(\bruch{jx}{2})[/mm] *
> [mm]\bruch{2}{j}][/mm] +
> [mm][\bruch{cos(\bruch{x}{2})\cdot{}sin(\bruch{jx}{2}) \bruch{4}{j} - sin(\bruch{x}{2}) \cdot{} cos(\bruch{jx}{2}) \bruch{4}{j^2}}{1-j^2}])[/mm]
>
Nein.
Die Korrektheit kannst Du überprüfen,
indem Du Deine gefundene Stammfunktion differenzierst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Do 17.02.2011 | | Autor: | zocca21 |
Hab jetzt mal etwas abgeleitet...aber ich kann den Fehler er Ableitung nicht erkennen.
Ja die Faktoren passen nicht.
Wo bin ich falsch vorgegangen beim integrieren?
Vielen Vielen Dank
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Hallo zocca21,
> Hab jetzt mal etwas abgeleitet...aber ich kann den Fehler
> er Ableitung nicht erkennen.
> Ja die Faktoren passen nicht.
> Wo bin ich falsch vorgegangen beim integrieren?
Das kann ich leider nicht feststellen.
Statt hier partiell zu integrieren, schreibe den Integranden um.
Es gilt hier:
[mm]2*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)*\cos\left(\bruch{j*x}{2}\right)=\cos\left(\bruch{j+1}{2}*x\right)+\cos\left(\bruch{j-1}{2}*x\right)[/mm]
Und das lässt sich doch viel einfacher integrieren,
als der gegebene Integrand
[mm]2*\cos\left(\bruch{x}{2}\right)*\cos\left(\bruch{j*x}{2}\right)[/mm]
>
> Vielen Vielen Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Do 17.02.2011 | | Autor: | zocca21 |
[mm] 2\cdot{}\cos\left(\bruch{x}{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{j\cdot{}x}{2}\right)=\cos\left(\bruch{j+1}{2}\cdot{}x\right)+\cos\left(\bruch{j-1}{2}\cdot{}x\right) [/mm]
ist integriert:
[ sin( [mm] \bruch{j+1}{2}*x) \bruch{2}{j+1} [/mm] + sin( [mm] \bruch{j-1}{2}*x) \bruch{2}{j-1}]
[/mm]
Ok jetzt muss ich mal überprüfen was an meiner partiellen Integration falsch gelaufen ist.
= [mm] \bruch{1}{2\pi}([ \pi [/mm] * [mm] sin(\bruch{jx}{2})* \bruch{2}{j}] [/mm] + [ sin( [mm] \bruch{j+1}{2}*x) \bruch{2}{j+1} [/mm] + sin( [mm] \bruch{j-1}{2}*x) \bruch{2}{j-1}])
[/mm]
Was kann ich hier nun genau erkennen wenn ich die Grenzen einsetze?
Verlier bei den Fourierkoeffizienten schnell den überblick wenn es nicht mehr [mm] 2\pi [/mm] periodisch ist und dann so viele Variablen rumschwirren.
Danke sehr nochmal!! Ist wirklich eine super Hilfe!
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Hallo zocca21,
>
> [mm]2\cdot{}\cos\left(\bruch{x}{2}\right)\cdot{}\cos\left(\bruch{j\cdot{}x}{2}\right)=\cos\left(\bruch{j+1}{2}\cdot{}x\right)+\cos\left(\bruch{j-1}{2}\cdot{}x\right)[/mm]
>
> ist integriert:
>
> [ sin( [mm]\bruch{j+1}{2}*x) \bruch{2}{j+1}[/mm] + sin(
> [mm]\bruch{j-1}{2}*x) \bruch{2}{j-1}][/mm]
>
> Ok jetzt muss ich mal überprüfen was an meiner partiellen
> Integration falsch gelaufen ist.
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi}([ \pi[/mm] * [mm]sin(\bruch{jx}{2})* \bruch{2}{j}][/mm]
> + [ sin( [mm]\bruch{j+1}{2}*x) \bruch{2}{j+1}[/mm] + sin(
> [mm]\bruch{j-1}{2}*x) \bruch{2}{j-1}])[/mm]
>
> Was kann ich hier nun genau erkennen wenn ich die Grenzen
> einsetze?
Du solltest erkennen, daß dieser gefundene Ausdruck
für [mm]j>1[/mm] verschwindet.
> Verlier bei den Fourierkoeffizienten schnell den
> überblick wenn es nicht mehr [mm]2\pi[/mm] periodisch ist und dann
> so viele Variablen rumschwirren.
>
> Danke sehr nochmal!! Ist wirklich eine super Hilfe!
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Fr 18.02.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ahja..super.
In einer Lösung hab ich gelesen man könnte die Koeffizienten in diesem Fall auch ablesen, da f bereits die Form einer Fourier Reihe hat. Ich kanns aber nicht erkennen.
Aber was wäre hier mein a?
[mm] a_1 [/mm] =2 oder?
und a generell
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:33 Fr 18.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die funktion ist ihre eigene Fourriereihe, mit [mm] a_0=\pi a_1=2
[/mm]
alle anderen [mm] a_i=0
[/mm]
Dafür such jetzt schnell noch die fourrierreihe für f(x)=cos(x)+2*sin(2x)
Gruss leduart.
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