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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Sa 26.12.2009 | | Autor: | McMuskel |
| Aufgabe | Entwickeln Sie die Fourier-Reihe der folgenden Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich fände es nett wenn jemand meinen Rechenweg überprüfen
und mich ggf. auf Fehler hinweisen könnte:
Die Funktion lautet: [mm] f(x)=\begin{cases} t-1, & \mbox{-1< } t \mbox{ <0} \\ t+1, & \mbox{0< } t \mbox{ <1} \end{cases}
[/mm]
Der Gleichanteil der Funktion ist gleich null [mm] \Rightarrow a_{0}=0.
[/mm]
Die Funktion zeigt ungerade Symmetrie [mm] \Rightarrow a_{n}=0.
[/mm]
Folglich müssen hier nur die ungeraden Fourier-Koeffizienten
berechnet werden.
[mm] b_{n}=\bruch{2}{T}*\integral_{-1}^{1}{f(t)*sin(n*\omega *t) dt}
[/mm]
mit: T=2
[mm] b_{n}=\integral_{-1}^{0}{(t-1)*sin(n*\omega *t) dt}+\integral_{0}^{1}{(t+1)*sin(n*\omega *t) dt}
[/mm]
[mm] b_{n}=\integral_{-1}^{0}{t*sin(n*\omega *t) dt}+\integral_{-1}^{0}{-sin(n*\omega *t) dt}+\integral_{0}^{1}{t*sin(n*\omega *t) dt}\integral_{0}^{1}{sin(n*\omega *t) dt}
[/mm]
Mit partieller Integration komme ich auf:
[mm] b_{n}=([\bruch{-t*cos(n\omega t)}{n\omega}]^0_{-1}+\integral_{-1}^{0}{\bruch{cos(n\omega t)}{n\omega} dt})+[\bruch{cos(n\omega t)}{n\omega}]^0_{-1}+([\bruch{-t*cos(n\omega t)}{n\omega}]^1_{0}+\integral_{0}^{1}{\bruch{cos(n\omega t)}{n\omega} dt})-[\bruch{cos(n\omega t)}{n\omega}]^1_{0}
[/mm]
[mm] b_{n}=([\bruch{-t*cos(n\omega t)}{n\omega}]^0_{-1}+[\bruch{sin(n\omega t)}{n^2\omega^2}]^0_{-1})+[\bruch{cos(n\omega t)}{n\omega}]^0_{-1}+([\bruch{-t*cos(n\omega t)}{n\omega}]^1_{0}+[\bruch{sin(n\omega t)}{n^2\omega^2}]^1_{0})-[\bruch{cos(n\omega t)}{n\omega}]^1_{0}
[/mm]
Als nächstes Grenzen einsetzen:
[mm] b_{n}=\bruch{-cos(-n\omega)}{n\omega}+\bruch{sin(n\omega )}{n^2\omega^2}+\bruch{1 - cos(-n\omega)}{n\omega}+\bruch{-cos(n\omega t)}{n\omega}+\bruch{sin(n\omega)}{n^2\omega^2}+\bruch{-cos(n\omega)+1}{n\omega}
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{2*sin(n\omega)}{n^2\omega^2}+(\bruch{-4*cos(n\omega)+2}{n\omega})
[/mm]
mit: [mm] \omega [/mm] = [mm] \bruch{2\pi}{T}=\bruch{2\pi}{2}=\pi
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{-4*(-1)^n+2}{n\pi}
[/mm]
[mm] f(t)=\summe_{n=1}^{\infty}[\bruch{-4*(-1)^n+2}{n\pi}*sin(n\omega{t)]}
[/mm]
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Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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Hallo!
Ich muß sagen, es ist mir heute etwas mühselig, das nachzurechnen.
Allerdings finde ich es immer wieder spannend zu überprüfen, wie die Fourier-Reihe sich der tatsächlichen Funktion annähert.
Ich habe das mal für die Reihe mit n=1 bis n=10 als höchstes Glied geplottet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das sieht also richtig aus!
(Ich habe die vorgegebene Funktion etwas schlampig umgesetzt, dafür steht in deinem Ergebnis aber auch noch ein [mm] \omega [/mm] 
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