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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Senator2 |
| Aufgabe | Für den einweg-gleichgerichteten Sinus (Sinusimpuls)
[mm] x(t) = (sin(t)+|sin(t)|) [/mm]
soll die Fourier-Reihendarstellung bestimmt und das Amplitudenspektrum gezeichnet werden. |
Hallo liebe Matheraum Mitglieder,
Ich bin leider bei dieser Aufgabe total aufgeschmissen und weiss leider nicht so recht, wie ich diese lösen soll. Ich habe schon ziemlich viel im Internet zu dieser Aufgabe gesucht, jedoch nichts passendes gefunden woran ich mich hätte oriertieren können. Die Reihendarstellung habe ich schon im Internet gefunden, sie lautet:
[mm] x(t) = 2/\pi + sin(t) - 4/\pi[1/3*cos(2t)+1/15*cos(4t)+...] [/mm]
Jedoch würde ich gerne wissen wie man auf dieses Ergebnis kommt. Wenn ich versuche die Reihe zu entwickeln bekomme ich bei den Fourierkoeffizienten [mm]a_0, a_n, b_n[/mm] immer 0.
Ich habe auch schon versucht die periodische Funktion in 2 Teilintervalle zu unterteilen (von 0 bis [mm]\pi[/mm] und von [mm]\pi[/mm] bis [mm]2\pi[/mm]) und dann versucht die Koeffizienten zu bestimmen, aber so komme ich auch nicht auf einen grünen Zweig.
Für eine erste kleine Hilfestellung und rat wie ich das Ganze angehen sollte wäre ich dankbar. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Alex
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Senator2,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für den einweg-gleichgerichteten Sinus (Sinusimpuls)
> [mm]x(t) = (sin(t)+|sin(t)|)[/mm]
>
> soll die Fourier-Reihendarstellung bestimmt und das
> Amplitudenspektrum gezeichnet werden.
> Hallo liebe Matheraum Mitglieder,
>
> Ich bin leider bei dieser Aufgabe total aufgeschmissen und
> weiss leider nicht so recht, wie ich diese lösen soll. Ich
> habe schon ziemlich viel im Internet zu dieser Aufgabe
> gesucht, jedoch nichts passendes gefunden woran ich mich
> hätte oriertieren können. Die Reihendarstellung habe ich
> schon im Internet gefunden, sie lautet:
> [mm]x(t) = 2/\pi + sin(t) - 4/\pi[1/3*cos(2t)+1/15*cos(4t)+...][/mm]
>
> Jedoch würde ich gerne wissen wie man auf dieses Ergebnis
> kommt. Wenn ich versuche die Reihe zu entwickeln bekomme
> ich bei den Fourierkoeffizienten [mm]a_0, a_n, b_n[/mm] immer 0.
> Ich habe auch schon versucht die periodische Funktion in 2
> Teilintervalle zu unterteilen (von 0 bis [mm]\pi[/mm] und von [mm]\pi[/mm]
> bis [mm]2\pi[/mm]) und dann versucht die Koeffizienten zu bestimmen,
> aber so komme ich auch nicht auf einen grünen Zweig.
Die Funktion sieht ja wie folgt aus:
[mm]
x(t)\; = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{2\;\sin \;t} \hfill & {0\; \leqslant \;t\; < \;\pi } \hfill \\
0 \hfill & {\pi \; \leqslant \;t\; < \;2\;\pi } \hfill \\
\end{array} } \right.[/mm]
Dann berechnen wir die Koeffienten wie folgt:
[mm]
\begin{gathered}
a_k \; = \;\frac{1}
{\pi }\;\int\limits_0^{2\;\pi } {x(t)\;\cos \left( {k\;t} \right)\;dt} = \;\frac{1}
{\pi }\;\int\limits_0^\pi {\sin \left( t \right)\;\cos \left( {k\;t} \right)\;dt} \hfill \\
b_k \; = \;\frac{1}
{\pi }\;\int\limits_0^{2\;\pi } {x(t)\;\sin \left( {k\;t} \right)\;dt} = \;\frac{1}
{\pi }\;\int\limits_0^\pi {\sin \left( t \right)\;\sin \left( {k\;t} \right)\;dt} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Und das Gleichglied lautet dann [mm]\bruch{a_0}{2}[/mm].
Es ist richtig, daß für die Koeffizienten [mm]a_{2\;l}\;=\;0[/mm] gilt.
Außerdem sind die Koeffizienten [mm]b_{m}[/mm] ab dem Index m=2 alle gleich 0.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:34 Di 17.01.2006 | | Autor: | Senator2 |
Hi MathePower,
Danke für deine Antwort. Wie die Funktion aussieht habe ich jetzt verstanden. Müsste es nicht jedoch wegen [mm]x(t)=2sin(t)[/mm] heißen:
[mm]
\begin{gathered}
a_k \; = \;\frac{1}
{\pi }\;\int\limits_0^{2\;\pi } {x(t)\;\cos \left( {k\;t} \right)\;dt} = \;\frac{1}
{\pi }\;\int\limits_0^\pi {2\;\sin \left( t \right)\;\cos \left( {k\;t} \right)\;dt} \hfill \\
b_k \; = \;\frac{1}
{\pi }\;\int\limits_0^{2\;\pi } {x(t)\;\sin \left( {k\;t} \right)\;dt} = \;\frac{1}
{\pi }\;\int\limits_0^\pi {2\;\sin \left( t \right)\;\sin \left( {k\;t} \right)\;dt} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Ich hoffe ich liege da richtig. Denn so kann ich ohne Probleme die Koeffizienten [mm]a_0, b_1[/mm] bestimmen (für [mm]a_1[/mm] kommt auch 0 heraus). Jedoch bleibe ich beim Integral von [mm]a_2[/mm] hängen.
[mm]a_2 \; = \;\frac{2}
{\pi }\;\int\limits_0^\pi {\sin \left( t \right)\;\cos \left( {2\;t} \right)\;dt} \hfill \\ [/mm]
Was mich stört sind die [mm]2t[/mm]. Substition, partielle Integration, es kommt einfach nicht das erhoffte Ergebnis heraus (es sollte [mm]-\bruch{4}
{\pi}*\bruch{1}{3}[/mm] heraus kommen). Kannst du mir dabei nochmal helfen?
Vielen Dank und gute Nacht
Alex
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:45 Di 17.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Senator
cos2t=cos^2t-sin^2t
das sollte helfen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Di 17.01.2006 | | Autor: | Senator2 |
Hallo,
Danke für den Hinweis, das habe ich gebraucht. Konnte die Aufgabe nun lösen und habe alles verstanden.
Vielen Dank nochmals und schönen Abend noch
Alex
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