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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Di 29.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Betrachten Sie [mm] L^2( \left[ - \pi, \pi \right], \mu, \mathbb C ) [/mm] und [mm] L^2( \left[ - \pi, \pi \right], \mu, \mathbb R ) [/mm] mit den Hilbert- Basen
[mm] \bruch{1}{\wurzel{ 2 \pi } } e^{ikx } [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{\wurzel{ 2 \pi } }, \bruch{1}{ \wurzel { \pi } } \cos(nx), \bruch{1}{ \wurzel { \pi } } \sin(nx) [/mm] mit [mm] k \in \mathbb Z [/mm] und [mm] n \in \mathbb N [/mm].
Bestimmen Sie die reelle und komplexe Fourier - Entwicklung der Funktion
[mm] f(x) = x^2 [/mm]. |
Guten Abend !
Ich habe mich an dieser Aufgabe schon versucht und möchte als erstes wissen, ob dies so richtig ist, was ich hier gerechnet habe.
Natürlich habe ich als erstes die reelle Entwicklung gemacht ,da die komplexe ja eine Art Konsequenz aus der reellen Entwicklung ist.
So, und nun zu meiner Lösung:
I. Reele Fourier - Entwicklung:
Ich gehe von folgendem Ansatz aus:
Die Fourier - Entwicklung ist eine Entwicklung von x, so dass
[mm] x = \summe_{ i \in I } \langle x,e_{i} \rangle \cdot e_{i} [/mm] mit [mm] e_i [/mm] passende Basen.
In diesem Falle haben wir den folgenden Hilbert-Raum [mm] [mm] L^2( \left[ - \pi, \pi \right], \mu, \mathbb R ) [/mm] mit den Hilbert- Basen
[mm] [mm] \bruch{1}{\wurzel{ 2 \pi } }, \bruch{1}{ \wurzel { \pi } } \cos(nx), \bruch{1}{ \wurzel { \pi } } \sin(nx) [/mm] mit [mm] n \in \mathbb N [/mm].
Also rechnen wir:
[mm] [mm] \langle [/mm] f, [mm] \bruch{1}{\wurzel{ 2 \pi } } \rangle [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{ 2 \pi } } \langle [/mm] f, 1 [mm] \rangle[/mm] [mm]
[mm] [mm] \langle [/mm] f, [mm] \bruch{1}{ \wurzel { \pi } } \cos [/mm] nx [mm] \rangle [/mm] = [mm] \bruch{1}{ \wurzel { \pi } } \langle [/mm] f, [mm] \cos [/mm] nx [mm] \rangle[/mm] [mm]
und
[mm] \langle f, \bruch{1}{ \wurzel { \pi } } \sin(nx) \rangle = \bruch{1}{ \wurzel { \pi } } \langle f, \sin nx \rangle [/mm].
Es ist
[mm] \langle f, 1 \rangle = \integral_{ \-pi}^{ \pi} x^2 dx = \bruch{2}{3} \pi^3 [/mm]
Da es sich hier um eine gerade Funktion handelt, ist der Term für
[mm] \langle f, \bruch{1}{ \wurzel { \pi } } \sin(nx) \rangle = \bruch{1}{ \wurzel { \pi } } \langle f, \sin nx \rangle [/mm] insgesamt kleich Null.
Somit bleibt es jetzt nur noch zu berechnen:
[mm] [mm] \langle [/mm] f, [mm] \cos [/mm] nx [mm] \rangle[/mm] [mm] =
\integral_{ - \pi}^{ \pi} x^2 \cdot \cos (nx) dx = \left[ x^2 \cdot \bruch{1}{n} \sin(nx) \right]_{ - \pi}^{\pi} - \integral_{ - \pi}^{ \pi} \bruch{1}{2} x \bruch{1}{n} \sin (nx) dx [/mm]
[mm] = \left[ x^2 \cdot \bruch{1}{n} \sin(nx) \right]_{ - \pi}^{\pi} - \bruch{1}{2n}( \left[x \cdot \bruch{1}{n} \cos(nx) \right]_{- \pi }^{ \pi} + \bruch{1}{n} \left[ \bruch{1}{n} \sin(nx) \right ]_{ - \pi}^{ \pi} ) [/mm]
Insgesamt bekomme ich dann, wenn ich die Grenzen eingesetz habe folgendes Ergebnis:
[mm] ... = - \bruch{ \pi}{n^2} \cos(nx) [/mm].
So, ist dies denn bis jetzt richtig?
Ich würde jetzt als nächstes alle diese Zischenenrgebnisse zusammenfassen und versuchen es in diese Summenform zu bringen.
Dazu habe ich noch folgende zwei Fragen:
Der Term für [mm]\langle f, 1 \rangle = \integral_{ \-pi}^{ \pi} x^2 dx = \bruch{2}{3} \pi^3 [/mm] kommt vor die Summe?
Und in der Summe muss ich ja aufpassen, welche n ich nehme, denn bei geraden und ungeraden n ändert der Cosinus seinen Wert. Wie kann ich dass in eine Summe schreiben, oder muss ich zwei Summen machen?
Vielen Dank schonmal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Di 29.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
Im Großen und Ganzen stimmt deine Rechnung, bis auf ein paar Kleinigkeiten:
Bei der partiellen Integration hast du [mm]x^2[/mm] abgeleitet und [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] herausbekommen, das muss [mm]2x[/mm] heißen:
[mm]\integral_{ - \pi}^{ \pi} x^2 \cdot \cos (nx) dx = \left[ x^2 \cdot \bruch{1}{n} \sin(nx) \right]_{ - \pi}^{\pi} - \integral_{ - \pi}^{ \pi} \red{2} x \bruch{1}{n} \sin (nx) dx
= \left[ x^2 \cdot \bruch{1}{n} \sin(nx) \right]_{ - \pi}^{\pi} \red{+} \bruch{2}{n}( \left[x \cdot \bruch{1}{n} \cos(nx) \right]_{- \pi }^{ \pi} \red{-} \bruch{1}{n} \left[ \bruch{1}{n} \sin(nx) \right ]_{ - \pi}^{ \pi} )[/mm]
[mm] = \bruch{4\pi}{n^2}\cos(n\pi) [/mm]
> Ich würde jetzt als nächstes alle diese Zischenenrgebnisse zusammenfassen und versuchen es in diese Summenform zu bringen.
>
> Dazu habe ich noch folgende zwei Fragen:
> Der Term für [mm]\langle f, 1 \rangle = \integral_{ \-pi}^{ \pi} x^2 dx = \bruch{2}{3} \pi^3[/mm] kommt vor die Summe?
Ja. Du musst noch aufpassen mit den Vorfaktoren: die [mm]\sqrt{2\pi}[/mm] nicht vergessen!
> Und in der Summe muss ich ja aufpassen, welche n ich nehme, denn bei geraden und ungeraden n ändert der Cosinus seinen Wert. Wie kann ich dass in eine Summe schreiben, oder muss ich zwei Summen machen?
[mm] \bruch{4\pi}{n^2}\cos(n\pi) = (-1)^n \bruch{4\pi}{n^2} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Di 29.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen Dank für die Antwort!
Habe blöde Fehler gemacht, sorry!
Ich habe weiter versucht es zusammen zu fassen und bin zum folgendem Ergebnis gekommen:
[mm] f(x) = \bruch{ \wurzel{2} \cdot \wurzel{ \pi} \pi^2}{3} + \summe_{n =0}^{\infty} \bruch{1}{ \wurzel{ \pi }} (-1)^n \bruch{4 \pi}{n^2} \bruch{1}{ \wurzel{ \pi} } \cdot \cos(nx) [/mm]
[mm] = \bruch{ \wurzel{2} \cdot \wurzel{ \pi} \pi^2}{3} + 3 \pi \cdot \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^n \bruch{1}{n^2} \cos(nx) [/mm]
Ist dies nun so richtig für die reelle Entwicklung ?
Es schaut so komisch aus ... :-(
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mi 30.01.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten morgen!
Ohwohl ich noch nicht ganz genau weiß, ob jetzt die reelle Entwicklung jetzt korrekt ist, habe ich die komplexe Entwicklung versucht.
Ich bin so vorgegangen:
Der HIlbert-Raum ist hier der [mm] H = L^2( \left[ - \pi, \pi \right], \mu, \mathbb C ) [/mm] mit der Hilbert-Basis [mm] \bruch{1}{ \wurzel{ 2 \pi } } e^{ikx} [/mm] mit [mm] k \in \mathbb Z [/mm].
Der Ansatz lautet:
[mm] f(x) = \bruch{1}{2 \pi} \summe \langle f, e^{ikx} \rangle \cdot e^{ikx} [/mm].
Es ist
[mm]\langle f, e^{ikx} \rangle = \langle f, \cos(kx) \rangle + \langle f, i \sin(kx) \rangle [/mm]
[mm] = \langle f, \cos(kx) \rangle - i \langle f, \sin(kx) \rangle [/mm]
Und nun wissen wir aus der reellen Entwicklung, dass
[mm] \langle f, \cos(kx) \rangle = (-1)^k \bruch{4 \pi }{k^2 } [/mm]
(Zwischenfrage: Das k hier, ist das Element der ganzen Zahlen oder natürlichne Zahlen? Denn in der reellen Entwicklung war es Element der natürlichen Zahlen... )
[mm] \langle f, \sin(kx) \rangle = 0 [/mm]
Somit würde die komplexe Fourier-Entwicklung folgende Gestalt haben:
[mm] f(x) = \bruch{1}{ 2 \pi} \summe_{k \in \mathbb Z} (-1)^k \bruch{4 \pi }{k^2 } \cdot e^{ikx} [/mm] mit [mm] k \in \mathbb Z [/mm]
[mm] = 2 \cdot \summe_{ k \in \mathbb Z } (-1)^k \cdot \bruch{1}{k^2} \cdot e^{ikx} [/mm].
Kann dieses Ergebnis richtig sein?
Und kann ich das k hier jetzt wirklich einfach als ganze Zahl sehen? Oder gibt es da Einschränkungen , die ich nicht vergessen darf?
Vielen Dank schonmal!
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mi 30.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Guten morgen!
>
> Ohwohl ich noch nicht ganz genau weiß, ob jetzt die reelle
> Entwicklung jetzt korrekt ist, habe ich die komplexe
> Entwicklung versucht.
>
> Ich bin so vorgegangen:
>
> Der HIlbert-Raum ist hier der [mm]H = L^2( \left[ - \pi, \pi \right], \mu, \mathbb C )[/mm]
> mit der Hilbert-Basis [mm]\bruch{1}{ \wurzel{ 2 \pi } } e^{ikx}[/mm]
> mit [mm]k \in \mathbb Z [/mm].
>
>
> Der Ansatz lautet:
>
> [mm]f(x) = \bruch{1}{2 \pi} \summe \langle f, e^{ikx} \rangle \cdot e^{ikx} [/mm].
>
> Es ist
>
> [mm]\langle f, e^{ikx} \rangle = \langle f, \cos(kx) \rangle + \langle f, i \sin(kx) \rangle[/mm]
>
> [mm]= \langle f, \cos(kx) \rangle - i \langle f, \sin(kx) \rangle[/mm]
>
> Und nun wissen wir aus der reellen Entwicklung, dass
>
> [mm]\langle f, \cos(kx) \rangle = (-1)^k \bruch{4 \pi }{k^2 }[/mm]
>
> (Zwischenfrage: Das k hier, ist das Element der ganzen
> Zahlen oder natürlichne Zahlen? Denn in der reellen
> Entwicklung war es Element der natürlichen Zahlen... )
Allgemein ist [mm]k\in\IZ[/mm]. Aber die Formel, du die übernommen hast, gilt nur für [mm]k\not=0[/mm], für k=0 ergibt sich der gleiche Term wie bei der reellen Entwicklung, da [mm]\bruch{1}{ \wurzel{ 2 \pi } } e^{i*0*x} = \bruch{1}{ \wurzel{ 2 \pi } }[/mm] ist.
Bei der reellen Entwicklung gehören zu jedem [mm]n\in\IN[/mm] zwei Funktionen, [mm]\cos(nx)[/mm] und [mm]\sin(nx)[/mm]. Im Komplexen entsprechen denen die beiden Funktionen [mm]e^{+inx}[/mm] und [mm]e^{-inx}[/mm], die man zu [mm]e^{ikx}[/mm], [mm]k\in\IZ\backslash\{0\}[/mm] zusammenfasst. Der Fall k=0 ist, wie schon gesagt, der gleiche wie im Reellen.
> [mm]\langle f, \sin(kx) \rangle = 0[/mm]
>
> Somit würde die komplexe Fourier-Entwicklung folgende
> Gestalt haben:
>
> [mm]f(x) = \bruch{1}{ 2 \pi} \summe_{k \in \mathbb Z} (-1)^k \bruch{4 \pi }{k^2 } \cdot e^{ikx}[/mm]
> mit [mm]k \in \mathbb Z[/mm]
>
> [mm]= 2 \cdot \summe_{ k \in \mathbb Z } (-1)^k \cdot \bruch{1}{k^2} \cdot e^{ikx} [/mm].
>
> Kann dieses Ergebnis richtig sein?
> Und kann ich das k hier jetzt wirklich einfach als ganze
> Zahl sehen? Oder gibt es da Einschränkungen , die ich nicht
> vergessen darf?
Du darfst nicht durch 0 teilen! 
Daher musst du k=0 ausnehmen:
[mm]f(x) = \bruch{\pi^2}{3} +2\summe_{k \in \mathbb Z\backslash\{0\}} (-1)^k \bruch{1}{k^2 } \cdot e^{ikx}[/mm]
Wenn du in der reellen Entwicklung [mm]\cos(nx) = \bruch{1}{2}(e^{+inx}+e^{-inx})[/mm] einsetzt, bekommst du diese Reihe auch heraus.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mi 30.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen,
> Ich habe weiter versucht es zusammen zu fassen und bin zum
> folgendem Ergebnis gekommen:
>
> [mm]f(x) = \bruch{ \wurzel{2} \cdot \wurzel{ \pi} \pi^2}{3} + \summe_{n =0}^{\infty} \bruch{1}{ \wurzel{ \pi }} (-1)^n \bruch{4 \pi}{n^2} \bruch{1}{ \wurzel{ \pi} } \cdot \cos(nx)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{ \wurzel{2} \cdot \wurzel{ \pi} \pi^2}{3} + 3 \pi \cdot \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^n \bruch{1}{n^2} \cos(nx)[/mm]
>
> Ist dies nun so richtig für die reelle Entwicklung ?
> Es schaut so komisch aus ... :-(
Es ist im Prinzip richtig, aber die Vorfaktoren der einzelnen Terme stimmen nicht, und du darfst bei der Summation erst bei n=1 anfangen. Wenn du f entwickelst, hast du:
[mm] f(x) = \langle f,\bruch{1}{\sqrt{2\pi}}\rangle \bruch{1}{\sqrt{2\pi}} + \summe_{{n=\red{1}}}^{\infty} \langle f,\bruch{1}{\sqrt{\pi}}\cos(nx)\rangle \bruch{1}{\sqrt{\pi}}\cos(nx) + \summe_{{n=\red{1}}}^{\infty} \langle f,\bruch{1}{\sqrt{\pi}}\sin(nx)\rangle \bruch{1}{\sqrt{\pi}}\sin(nx) [/mm]
[mm] = \bruch{1}{2\pi} \langle f,1\rangle + \summe_{{n=\red{1}}}^{\infty} \bruch{1}{\pi} \langle f, \cos(nx)\rangle \cos(nx) +\summe_{{n=\red{1}}}^{\infty} \bruch{1}{\pi} \langle f, \sin(nx)\rangle \sin(nx) [/mm]
[mm] = \bruch{\pi^2}{3} + 4\summe_{{n=\red{1}}}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n^2} \cos(nx) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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