Fourier Entwicklung für x^2 < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Bayer04 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für [mm] f(x)=x^{2} [/mm] für [mm] x\in[-\pi,\pi] [/mm] die Fourrier Reihe. |
Hallo zusammen,
ich habe kurz eine Frage zur Bestimmung der Fourier-koeffizienten.
Die allg.Formel zur Ermittlung der Reihe lautet ja:
S(x)= [mm] \bruch{a_{0}}{2} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{} (a_{n}cos(nx)+b_{n}sin(nx))
[/mm]
[mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] konnte ich erfolgreich ermitteln.
Bei der Berechnung des Koeffizienten [mm] b_{n} [/mm] hänge ich leider zurzeit.
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) sin(nx) dx}
[/mm]
Werte eingesetzt ergibt sich:
[mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{x^{2}sin(nx) dx} [/mm]
In der Musterlösung erhält man für [mm] b_{n}=0. [/mm]
Begründung:
[mm] x^{2} [/mm] = punktsymmetrisch und sin(nx) = achsensymmetrisch.
Punktsymm. * Achsensymm. = Punktsymmetrisch.
Meine Frage nun?
Immer wenn Punktsymmetrisch rauskommt ist der Koeff. = 0?
Oder wie kann ich mir das erklären?
Danke vielmals im Voraus.
LG
|
|
| |
|
Hallo!
> [mm]b_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{x^{2}sin(nx) dx}[/mm]
> In der Musterlösung erhält man für [mm]b_{n}=0.[/mm]
> Begründung:
>
> [mm]x^{2}[/mm] = punktsymmetrisch und sin(nx) = achsensymmetrisch.
> Punktsymm. * Achsensymm. = Punktsymmetrisch.
>
> Meine Frage nun?
> Immer wenn Punktsymmetrisch rauskommt ist der Koeff. = 0?
> Oder wie kann ich mir das erklären?
Nein, nicht immer.
Am besten du zeichnest dir mal eine punktsymmetrische Funktion auf, z.B. f(x) = x.
Du solltest dann feststellen: Die Fläche links von der y-Achse ist genauso groß wie die Fläche rechts von der y-Achse, nur ist sie negativ.
Wenn du nun also ein Integral über das Intervall [-a,a] bildest, also genausoviel "negative" Fläche wie "positive" Fläche addierst, kommt Null heraus.
Es gibt also zwei Bedingungen, damit das Integral 0 ist:
1. Integrand = punktsymmetrische Funktion
2. Integrationsgrenzen = [-a,a]
Viele Grüße,
Stefan
|
|
|
|
