Fourier Koeffizienten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Do 19.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
| Aufgabe | | Geben Sie die reellen und komplexen Fourier-Koeffizienten der Funktion [mm] $f(x)=1+sin(2x+\bruch{\pi}{3})$ [/mm] an. |
Guten Abend, mir ist das Vorgehen bei der Suche nach den Fourier-Koeff. nicht bekannt.
Ich weiß, dass ich die Funktion mittels eines Additionstheorems in folgende umschreiben kann:
[mm] $f(x)=1+\bruch{1}{2}sin(2x)+\bruch{\wurzel{3}}{2}cos(2x) [/mm] $
[mm] a_{0} [/mm] ist folglich 2, da [mm] \bruch{a_{0}}{2}=1. [/mm] Doch wie bestimme ich die restlichen Teile?
Danke!
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Hallo Ciotic,
> Geben Sie die reellen und komplexen Fourier-Koeffizienten
> der Funktion [mm]f(x)=1+sin(2x+\bruch{\pi}{3})[/mm] an.
> Guten Abend, mir ist das Vorgehen bei der Suche nach den
> Fourier-Koeff. nicht bekannt.
>
> Ich weiß, dass ich die Funktion mittels eines
> Additionstheorems in folgende umschreiben kann:
>
> [mm]f(x)=1+\bruch{1}{2}sin(2x)+\bruch{\wurzel{3}}{2}cos(2x)[/mm]
>
> [mm]a_{0}[/mm] ist folglich 2, da [mm]\bruch{a_{0}}{2}=1.[/mm] Doch wie
> bestimme ich die restlichen Teile?
>
Zunächst stellst Du fest, da f(x) [mm]\pi[/mm]-periodisch ist.
Damit lautet die Darstellung der Fourierreihe:
[mm]f\left(x\right)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}{a_{k}*\cos\left(2*k*x\right)+b_{k}*\sin\left(2*k*x\right)}[/mm]
Dies vergleichst Du jetzt mit der obigen Darstellung
und erhältst die Fourierkoeffizienten.
> Danke!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Do 19.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Auf die Periodizität kommt man, weil gilt: [mm] p=\bruch{2\pi}{b} [/mm] und b=2 ist. Was ist, wenn Sinus und Cosinus verschiedene Perioden haben?
Also wäre das dann:
[mm] $f(x)=\bruch{a_{0}}{2}+a_{1}cos(2x)+b_{1}sin(2x)+a_{2}cos(4x)+b_{2}sin(4x)$
[/mm]
Würde man ablesen, wäre [mm] a_{1}=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] b_{1}=\bruch{\wurzel{3}}{2}. [/mm] Das stimmt aber nicht mit meinen Lösungen überein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:37 Fr 20.07.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Ciotic,
generell gilt so eine Fourierreihendarstellung immer nur für eine periodische Funktion, bei Dir hast sie eine Periode von Pi. Meistens ist das Periodenintervall angegeben, ansonsten muss man sich auf die Suche nach einem passenden Wert begeben. Im Grenzfall kommt man dann nicht mehr mit einer Fourreihendarstellung weiter, sondern muss eine Fouriertransformation durchführen.
Deine Koeffizienten kannst Du direkt ablesen, ich halte Sie auch für okay. Du hast ja wohl eine Lösung vorliegen, also geben doch mal an, waas dort steht, vielleicht kommen wir damit dann weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Fr 20.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Laut meinen Lösungen ergibt sich folgendes:
[mm] a_{0}=2 [/mm] ; [mm] b_{1}=0 [/mm] ; [mm] a_{1}=0 [/mm] ; [mm] b_{2}=\bruch{1}{2} [/mm] ; [mm] a_{2}=\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:12 Fr 20.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Laut meinen Lösungen ergibt sich folgendes:
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> [mm]a_{0}=2[/mm] ; [mm]b_{1}=0[/mm] ; [mm]a_{1}=0[/mm] ; [mm]b_{2}=\bruch{1}{2}[/mm] ;
> [mm]a_{2}=\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
.... und die restlichen Koeffizienten sind =0. Stimmts ?
Dann berechne doch damit
[mm] \bruch{a_0}{2}+\summe_{k=1}^{\infty}(a_kcos(kx)+b_ksin(kx))
[/mm]
Beachte: f ist natürlich auch $2 [mm] \pi$ [/mm] - periodisch.
FRED
>
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:13 Di 24.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Danke für die Antwort.
Ich habe es nun soweit verstanden:
[mm] F(x)=\bruch{a_{0}}{2}+a_{1}*cos(x)+b_{1}*sin(x)+a_{2}*cos(2x)+b_{2}*sin(2x)
[/mm]
In unserer gegebenen Form kommt nur sin(2x) und cos(2x) vor, weshalb die Koeffizienten der Lösung richtig sind. Was ich mich jetzt noch Frage, eigentlich wäre es in der allgemeinen Form
[mm] F(x)=\bruch{a_{0}}{2}+a_{1}*cos(\bruch{2\pi}{T}x)+b_{1}*sin((\bruch{2\pi}{T}x)+a_{2}*cos(2(\bruch{2\pi}{T}x)+b_{2}*sin(2(\bruch{2\pi}{T}x).
[/mm]
Wie berechnet man in allgemein die Periode einer Funktion, die Sinus + Cosinus ist ? Wäre die Periode in diesem Fall [mm] \pi [/mm] ? Dann käme ja noch der Faktor 2 [mm] (\bruc{2\pi}{\pi}) [/mm] dazu und die Koeffizienten würden nicht mehr stimmen.
Danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Di 24.07.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo ciotic,
da Du bei der Fourierreihendarstellung immer eine periodische Funktion aus der Summe von Sinus- und Cosinusschwingungen zusammensetzt und in dieser darstellung auch nur ganzzahlige Oberwellen vorkommen, gibt Dir demzufolge die Periode der Grundschwingung die Periodendauer an.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:25 Di 24.07.2012 | | Autor: | Ciotic |
Kannst du mir an meiner obigen Aufgabe erläutern, was die Grundschwingung ist, bzw. wie man nun die Periode berechnet? Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 25.07.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Aufgabe ist untypisch für eine aufgabe eine Fourrierreihe zu bestimmen.
Fourrierereihen sind eigentlich unendliche Reihen, die periodische Funktionen die KEINE trig. Fkt sind annähern!
bei [mm] sin(2x)=sin(2\pi/\pi*x) [/mm] ist die Periode T=/pi natürlich hat sin(2x+a) dieselbe Periode!
jede Fkt , mit der Periode T hat natürlich auch die periode 2T, 3T, 4T usw.
zu deiner Frage= sin(ax)+cos(bx)
sin(ax)hat die Periode [mm] T1=2\pi/a [/mm] cos(bx) die Periode [mm] T2=2\pi/b [/mm] Nur wenn T1 und T2 ein gemeinsames Vielfaches haben, dann ist das die gemeinsame Periode, Falls nicht, gibt es keine! wenn a,b ganz dann gibt es das gem. Vielfache immer!
(Aber das hat wenig mit Fourrierreihen zu tun!)
Gruss leduart
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