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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Die Funktion $f:{ } \IR \to \IR$ mit $D(f)=\IR$ sei die "-periodische fortsetzung der Funktion g mit D(g)=[-1/2,2/3[ und
f(x)=\begin{cases} sin( \pi*x), & \mbox{für } -\bruch{1}{2}\le x \le \bruch{1}{2} \\ 0, & \mbox{für }\bruch{1}{2}< x < \bruch{3}{2} \end{cases}
Beweisen sie, daß f die Fourierreihe
$f(x)=\bruch{sin(\pi x)}{2}+ \summe_{k=1}^{ \infty}\bruch{(-1)^{k+1} 4k}{\pi (4k^2-1)}*sin(2k \pi x)$
besitzt. |
servus ersma.
Ich habe es nachgerechnet, kam fast auf den ausdruck jedoch ohne $\bruch{sin(\pi x)}{2}$ verstehe nicht wo das herkommt.
Gibt es da nen Trick das zu beweisen ohne nachzurechnen wenn Nein dann hier mein Rechenweg.
$a_n$ sind null weil ungerade.
$b_{k}=2* \integral_{0}^{1/2}{sin(\pi x)* sin(k \pi x) dx}$
mit Aditionstheorem:
$= \integral_{0}^{1/2}{cos(k \pi x-\pi x) - cos(k \pi x+\pi x) dx}$
$=\bruch{sin(k \bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2})}{\pi (k-1) }-\bruch{sin(k \bruch{\pi}{2}+\bruch{\pi}{2})}{\pi (k+1) }$
$=\bruch{sin(k \bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2})(k+1)-sin(k\bruch{\pi}{2})+\bruch{\pi}{2})(k-1)}{\pi (k^2-1) }$
$=\bruch{k*[ sin(k \bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2})-sin(k \bruch{\pi}{2}+\bruch{\pi}{2})+sin(k \bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2})+sin(k \bruch{\pi}{2}+\bruch{\pi}{2})}{\pi (k^2-1) }$
$=\bruch{-2*k*cos(k \bruch{\pi}{2})+2* sin(k \bruch{\pi}{2})*cos(\bruch{\pi}{2})}{\pi (k^2-1) }$
$=\bruch{-2*k*cos(k \bruch{\pi}{2})}{\pi (k^2-1) }$
$b_k=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k=2n+1 \\ \bruch{-2*k*cos(k \bruch{\pi}{2})}{\pi (k^2-1) , & \mbox{für }k=2n\end{cases} $
$b_k=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k=2n+1 \\ \bruch{4n*(-1)^{n+1}}{\pi (4n^2-1) , & \mbox{für }k=2n \end{cases} $
$ \Rightarrow FR(x)= \summe_{n=1}^{ \infty}\bruch{(-1)^{n+1} 4n}{\pi (4n^2-1)}*sin(2n \pi x) $
So wo ist nun der Fehler?
PS: Die scheiss Aufgabe und ihre hinterhältigen Freunde haben mir den Ganzen Tag versaut
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
Tach!
> Die Funktion [mm]f:{ } \IR \to \IR[/mm] mit [mm]D(f)=\IR[/mm] sei die
> "-periodische fortsetzung der Funktion g mit
> D(g)=[-1/2,2/3[ und
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} sin( \pi*x), & \mbox{für } -\bruch{1}{2}\le x \le \bruch{1}{2} \\ 0, & \mbox{für }\bruch{1}{2}< x < \bruch{3}{2} \end{cases}[/mm]
>
> Beweisen sie, daß f die Fourierreihe
>
> [mm]f(x)=\bruch{sin(\pi x)}{2}+ \summe_{k=1}^{ \infty}\bruch{(-1)^{k+1} 4k}{\pi (4k^2-1)}*sin(2k \pi x)[/mm]
>
> besitzt.
> servus ersma.
>
> Ich habe es nachgerechnet, kam fast auf den ausdruck jedoch
> ohne [mm]\bruch{sin(\pi x)}{2}[/mm] verstehe nicht wo das herkommt.
>
> Gibt es da nen Trick das zu beweisen ohne nachzurechnen
> wenn Nein dann hier mein Rechenweg.
>
> [mm]a_n[/mm] sind null weil ungerade.
>
> [mm]b_{k}=2* \integral_{0}^{1/2}{sin(\pi x)* sin(k \pi x) dx}[/mm]
>
> mit Aditionstheorem:
> [mm]= \integral_{0}^{1/2}{cos(k \pi x-\pi x) - cos(k \pi x+\pi x) dx}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{sin(k \bruch{\pi}{2}-\bruch{\pi}{2})}{\pi (k-1) }-\bruch{sin(k \bruch{\pi}{2}+\bruch{\pi}{2})}{\pi (k+1) }[/mm]
Wenn $k [mm] \neq [/mm] 1$ ist, stimmt das auch. Nur im Fall $k = 1$ geht das schief, den musst du extra behandeln.
Wenn du den extra behandelst, bekommst du damit naemlich genau den fehlenden Term: $2 [mm] \int_0^{1/2} \sin^2(\pi [/mm] x) [mm] \; [/mm] dx = 1/2$.
LG Felix
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Danke das du dich der Frage noch angenommen hast.
So nun meine Frage:
Müsste dann nicht aber folgendes stehen:
$ [mm] f(x)=\bruch{sin(\pi x)}{2}+ \summe_{k=2}^{ \infty}\bruch{(-1)^{k+1} 4k}{\pi (4k^2-1)}\cdot{}sin(2k \pi [/mm] x) $
also von k=2 bis unendlich?
Nee muss ja nicht weil haben schon mit 2k substituiert.
Vielen Dank nochmal.
PS: kann leider meine eigenen Fragen nicht selber beantworten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:32 So 26.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Danke das du dich der Frage noch angenommen hast.
>
> So nun meine Frage:
> Müsste dann nicht aber folgendes stehen:
>
> [mm]f(x)=\bruch{sin(\pi x)}{2}+ \summe_{k=2}^{ \infty}\bruch{(-1)^{k+1} 4k}{\pi (4k^2-1)}\cdot{}sin(2k \pi x)[/mm]
>
> also von k=2 bis unendlich?
Nein, von $k = 1$ ist schon richtig!
> Nee muss ja nicht weil haben schon mit 2k substituiert.
Genau :)
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> Vielen Dank nochmal.
>
> PS: kann leider meine eigenen Fragen nicht selber
> beantworten.
Ich habs mal auf `beantwortet' gestellt :)
LG Felix
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