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| Aufgabe | Sei f(x) die periodische Fortsetzung der Funktion [mm] 1-x^2 [/mm] auf [-1,1], g(x) die periodische Fortsetzung von cos(x) auf [mm] [0,\pi].
[/mm]
a) Berechne die Fourierreihe von f(x).
b) Berechne die Fourierreihe von [mm] f(x-\bruch{1}{4})
[/mm]
c) Berechne die Fourierreihe von g(x) in komplexer Form.
Hinweis: Zeichne zunächst die Funktion f(x) bzw. g(x). |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt, ohne hilfreiche Antworten zu bekommen:
- http://www.gute-mathe-fragen.de/180578/fourierreihe-berechnen-hilfe
- http://www.onlinemathe.de/forum/Fourierreihe-69
Ich habe echt keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll, bz. was ich wie in die Fourierformel einsetzen soll... Könnte jemand die Aufgabe mit mir lösen oder alternativ vorlösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 So 30.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast in den anderen foren Antworten bekommen. was hast du damit getan?
Gruß leduart
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Das ist ja das Problem, ich verstehe die Aufgabe immernoch nicht und es wird nicht weiter geantwortet im anderen Forum, darum habe ich sie hier erneut geposted, in der Hoffnung, dass jemand weiterhelfen kann :)
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OK, aber irgendwas musst Du ja wissen über die Fourierreihe. Schreibe uns mal die Formeln der Zerlegung in Koeffizienten und der Rekonstruktion auf, wie Du sie kennst, dann helfen wir weiter.
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Super, Danke:
also ich habe folgende Formeln ins Heft geschrieben:
FPn,f(x) [mm] =a0+\summe_{k=1}^{n}(ak(\varepsilon)cos(kx)) [/mm] + [mm] (bk(\varepsilon)sin(kx))
[/mm]
[mm] n=\infty \to [/mm] Fourierreihe
[mm] a0(\varepsilon)=\bruch{1}{2\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] ak(\varepsilon)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) cos(kx) dx} [/mm]
[mm] bk(\varepsilon)=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f(x) sin(kx) dx} [/mm]
Was muss ich nun wo einsetzen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 So 30.11.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
diese Formeln gelten nur für eine Periodendauer von 2 Pi, die hast Du aber bei Deiner Aufgabenstellung nicht.
Irgendwo musst Du auch noch das Pendant dieser Gleichungen für eine beliebige Periodendauer T haben.
Viele Grüße,
Infinit
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Das habe ich aber irgendwie nicht? :/
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Das ist zwar nett, aber ich weiss immer noch nicht was ich nun wo einsetzen muss... Könnte das nicht jemand Schritt für Schritt mit mir erarbeiten oder vorlösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 So 30.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das ist zwar nett, aber ich weiss immer noch nicht was ich
> nun wo einsetzen muss... Könnte das nicht jemand Schritt
> für Schritt mit mir erarbeiten oder vorlösen?
nein, vorlösen ist nicht in Deinem Interesse. Mit dem schrittweise erarbeiten
bin ich einverstanden. Ich führe Dir gerne die Berechnung der [mm] $a_k$ [/mm] mal vor:
> Sei f(x) die periodische Fortsetzung der Funktion $ [mm] 1-x^2 [/mm] $ auf [-1,1],
> a) Berechne die Fourierreihe von f(x).
Die kleinste nichtnegative Periode ist hier [mm] $T=1-(-1)=2\,,$ [/mm] das folgt direkt
aus der Aufgabenstellung.
Die Funktion erfüllt demnach
$f(x+T)=f(x+2)=f(x)$
für alle $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Skizziere Dir am Besten diese Funktion mal auf [mm] $[-5,5]\,.$
[/mm]
Nun gilt mit [mm] $\omega=2*\pi/T=2\pi/2=\pi$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN_0$
[/mm]
[mm] $a_k=\frac{2}{T}\int_0^{T} [/mm] f(t) [mm] \cos(k \omega t)dt=\int_0^{2} [/mm] f(t) [mm] \cos(k \pi t)dt\,.$
[/mm]
Das ist jetzt erstmal blöd, weil wir in dieser Form
$f(1+x)$ für $x [mm] \in [/mm] [0,1]$
hinschreiben müssten (was wir auch könnten) - diesen Weg solltest Du
nachträglich auch mal rechnen, also
[mm] $a_k=\int_0^{2} [/mm] f(t) [mm] \cos(k \pi t)dt=\int_0^{1} [/mm] f(t) [mm] \cos(k \pi t)dt+\int_1^{2} [/mm] f(t) [mm] \cos(k \pi [/mm] t)dt$
ausrechnen. (Beachte, dass Du auf [mm] $(1,2)\,$ [/mm] NICHT [mm] $f(t)=1-t^2$ [/mm] benutzen kannst - sondern...?)
Ich mache es mir jetzt ein wenig einfacher, denn es gilt (warum, das solltest
Du Dir überlegen)
[mm] $a_k=\int_0^2 [/mm] f(t) [mm] \cos(k \pi t)dt=\int_{-1}^1 [/mm] f(t) [mm] \cos(k \pi t)dt=\int_{-1}^1 (1-t^2)\cos(k \pi t)dt\,.$
[/mm]
Berechne nun zunächst
[mm] $a_0=\int_{-1}^1 (1-t^2)dt=...\,.$
[/mm]
(Das bekommst Du hin, oder?)
Es folgt (überlege Dir, warum!) für $k [mm] \ge [/mm] 1$
[mm] $-a_k=\int_{-1}^1 t^2 \cos(k *\pi*t)dt=\left[t^2\frac{1}{k \pi}\sin(k \pi t)\right]_{t=-1}^{t=1}-\int_{-1}^12t\frac{1}{k\pi}\sin(k \pi t)dt\,.$
[/mm]
Damit weiter
[mm] $a_k=\frac{1}{k\pi}\int_{-1}^1 [/mm] 2t [mm] \sin(k \pi t)dt=\frac{1}{k\pi}\left\{\left[2t*\frac{\cos(k \pi t)}{-k \pi}\right]_{t=-1}^{t=1}-\int_{-1}^1 2*\frac{\cos(k \pi t)}{-k \pi}dt\right\}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{k^2\pi^2}\left\{\int_{-1}^1 2*\cos(k \pi t)dt-\left[2t*\cos(k \pi t)\right]_{t=-1}^{t=1}\right\}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{k^2\pi^2}\left\{\left[\frac{2\sin(k \pi t)}{k\pi}\right]_{t=-1}^{t=1}-4*(-1)^k\right\}=(-1)^{k+1}*\frac{4}{k^2\pi^2}\,.$
[/mm]
Sofern Du richtig rechnest (siehe auch das verlinkte Skript), wirst Du feststellen,
dass alle [mm] $b_k=0$ [/mm] sind. Ich erhalte dann
[mm] $f(x)=\frac{2}{3}\red{\,+\,}\sum_{k=\red{1}}^\infty \frac{(-1)^{k+1}*4}{k^2*\pi^2}\cos(k \pi x)\,.$
[/mm]
Das Ergebnis habe ich mal in Octave getestet:
| 1: |
| | 2: | x=[-1:0.01:1];
| | 3: | for k=1:5
| | 4: | a(k)=(-1)^(k+1)*4/(k^2*pi^2);
| | 5: | end;
| | 6: | y=2/3+a(1)*cos(1*pi*x)+a(2)*cos(2*pi*x)+a(3)*cos(3*pi*x)+a(4)*cos(4*pi*x)+a(5)*cos(5*pi*x);
| | 7: | plot(x,y,'-o r',x,1-x.^2,'g','linewidth',3);
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Die grüne Kurve ist die, die approximiert werden soll. Die roten Kreise gehören
zur Fourierreihe, wenn ich bei dieser nur die ersten 5 Fourierkoeffizienten
mitnehme! Man sieht schon, wie gut diese Approximation hier schon ist!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vielen vielen Dank, ich werde das gleich in den nächsten Tagen probieren und melde mich nochmals :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:57 So 30.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen vielen Dank, ich werde das gleich in den nächsten
> Tagen probieren und melde mich nochmals :)
gerne. Du wirst meine Rechnung nachvollziehen wollen, daher noch ein
paar Hinweise:
Mach' Dir sowas klar wie
[mm] $\cos(k *\pi)=(-1)^k$ [/mm] und [mm] $\sin(k*\pi)=0\,.$
[/mm]
Ferner habe ich partiell integriert, und manche Integrale berechnen sich
schnell aus Symmetriegründen zu Null. Das habe ich nicht überall dran-
geschrieben, denn Du sollst ja auch versuchen, das nochmal selbst nach-
zurechnen!
Gruß,
Marcel
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http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe#Darstellung_in_Sinus-Kosinus-Form