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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
So, jetzt machen wir die Fourierreihen auch in Ana... Aber irgendwie fehlt mir noch der Anfang:
"Geben Sie die Fourierreihe der Funktionen
[mm] f_1(x)=(cos x)_{+} [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } \mbox {cos x<0} \\ cos x, & \mbox{für } n \mbox{ cos x \ge0} \end{cases}
[/mm]
[mm] f_2(x)=|x-k2\pi|, (2k-1)\pi
an, wobei [mm] k\in\IZ."
[/mm]
Sorry, ich weiß nicht, ob man die erste Funktion lesen kann, jedenfalls soll sie einfach der positive Teil vom cos sein, also alle Funktionswerte, die <0 sind, werden einfach auf Null gesetzt.
So, ich weiß jetzt gar nicht, wie ich das machen soll. Als erstes haben wir mal zwei Darstellungen für eine Fourierreihe, nämlich mit cos und sin oder mit [mm] e^{ikx} [/mm] - woran merke ich, mit welcher ich besser rechnen sollte? Und zum zweiten weiß ich nicht: muss ich jetzt einzelne Werte einsetzen und danach die Koeffizienten bestimmen oder macht man das ganz anders?
Viele Grüße
Bastiane
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 So 12.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
> So, ich weiß jetzt gar nicht, wie ich das machen soll. Als erstes haben wir mal zwei Darstellungen für eine Fourierreihe, nämlich mit cos und sin oder mit $ [mm] e^{ikx} [/mm] $ - woran merke ich, mit welcher ich besser rechnen sollte?
Also wenn du von vornerein weißt, ob deine Funktion eine Punkt- oder Achsensymmetrie aufweist, dann würde ich dir zur nicht-komplexen Darstellung der Fourierreihe raten, da du in den Fällen nur die Koeffizienten [mm] $a_n$ [/mm] oder [mm] $b_n$ [/mm] berechnen musst, nicht aber beide. Wenn du allerdings keine Informationen darüber hast bzw. keiner der Fälle vorliegt, tendiere ich zur Berechnung über die komplexe Schreibweise, welche mir im Allgemeinen auch lieber ist.
> Und zum zweiten weiß ich nicht: muss ich jetzt einzelne Werte einsetzen und danach die Koeffizienten bestimmen oder macht man das ganz anders?
Nein, du musst keine einzelnen Werte einsetzen, sondern lediglich deine Funktion über eine Periode integrieren. Schau dir die drei Koeffizientenformeln an:
[mm] $a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cdot cos(n x)\cdot dx}$
[/mm]
[mm] $b_n=\frac{1}{\pi}\cdot\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cdot sin(n x)\cdot dx}$
[/mm]
[mm] $c_n=\frac{1}{2\pi}\cdot\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cdot e^{-i n x}\cdot dx}$
[/mm]
Die Funktionen, über denen integriert wird, sind allesamt [mm] $2\pi$-periodisch, [/mm] es spielt also keine Rolle, in welchen Grenzen du sie integrierst, so lange sie nur genau eine Periode erfassen.
Willst du nun das Integral für eine Funktion berechnen, so musst du es meistens in die Abschnitte zerlegen, in denen die Funktion unterschiedlich definiert ist. Z.B. brauchst du bei der dir gegebenen Funktion nur über den Intervallen [mm] $[0;\frac{\pi}{2}]$ [/mm] und [mm] $[\frac{3}{2}\pi;2\pi]$ [/mm] zu integrieren. Da die gegebene Funktion zudem Achsensymmetrisch zur Y-Achse ist, fallen die Koeffizienten [mm] $b_n$ [/mm] (welche gerade den punktsymmetrischen Teil ausmachen) allesamt weg.
Kriegst du das nun hin?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 12.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hanno!
Ich hatte mir schon gedacht, dass das bestimmt eine Aufgabe für dich ist... 
> Also wenn du von vornerein weißt, ob deine Funktion eine
> Punkt- oder Achsensymmetrie aufweist, dann würde ich dir
> zur nicht-komplexen Darstellung der Fourierreihe raten, da
> du in den Fällen nur die Koeffizienten [mm]a_n[/mm] oder [mm]b_n[/mm]
> berechnen musst, nicht aber beide. Wenn du allerdings keine
> Informationen darüber hast bzw. keiner der Fälle vorliegt,
> tendiere ich zur Berechnung über die komplexe Schreibweise,
> welche mir im Allgemeinen auch lieber ist.
Ja, das klingt logisch!
> Schau dir die drei Koeffizientenformeln an:
> [mm]a_n=\frac{1}{\pi}\cdot\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cdot cos(n x)\cdot dx}[/mm]
>
> [mm]b_n=\frac{1}{\pi}\cdot\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cdot sin(n x)\cdot dx}[/mm]
>
> [mm]c_n=\frac{1}{2\pi}\cdot\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)\cdot e^{-i n x}\cdot dx}[/mm]
>
>
> Die Funktionen, über denen integriert wird, sind allesamt
> [mm]2\pi[/mm]-periodisch, es spielt also keine Rolle, in welchen
> Grenzen du sie integrierst, so lange sie nur genau eine
> Periode erfassen.
> Willst du nun das Integral für eine Funktion berechnen, so
> musst du es meistens in die Abschnitte zerlegen, in denen
> die Funktion unterschiedlich definiert ist. Z.B. brauchst
> du bei der dir gegebenen Funktion nur über den Intervallen
> [mm][0;\frac{\pi}{2}][/mm] und [mm][\frac{3}{2}\pi;2\pi][/mm] zu integrieren.
> Da die gegebene Funktion zudem Achsensymmetrisch zur
> Y-Achse ist, fallen die Koeffizienten [mm]b_n[/mm] (welche gerade
> den punktsymmetrischen Teil ausmachen) allesamt weg.
Ja, das hatte ich nach deiner obigen Erklärung mir auch schon gedacht.
Aber leider komme ich mit dem Integrieren nicht so ganz klar. Macht man das mit partieller Integration? Also ich habe es so versucht:
[mm] a_k=\bruch{1}{\pi}(\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(kx)cos(x)dx}+\integral_{\bruch{3}{2}\pi}^{2\pi}{cos(kx)cos(x)dx}
[/mm]
Denn ich habe ja jetzt die Integrationsgrenzen so verändert, dass ich da nicht mehr (cos [mm] x)_{+} [/mm] stehen haben muss, sondern nur noch cos x.
Nun habe ich versucht:
v=cos(kx)
v'=k*(-sin(kx))
u'=cos x
u=sin x
Aber dann erhalte ich ja:
[mm] \integral{cos(kx)cos x dx} [/mm] = sin x cos [mm] (kx)-\integral{sin x(-k sin(kx))dx}
[/mm]
und das müsste ich dann nochmal partiell integrieren. Habe ich auch versucht, aber dann kommt wieder was, das man partiell integrieren muss und ich schätze, das geht noch ne Weile so weiter. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich hatte gehofft, es würde vielleicht irgendwas wegfallen oder so, aber ich habe nichts gesehen, wo das so sein könnte.
Was gibt es sonst für eine Möglichkeit, dieses Integral zu berechnen?
Desweiteren habe ich dann immerhin schon mal [mm] a_1 [/mm] berechnet. Dann muss ich ja über [mm] cos^2 [/mm] x integrieren, und die Formel dafür steht in der Formelsammlung:
[mm] \bruch{1}{2}(x+sin [/mm] x cos x)
Damit erhalte ich dann [mm] a_1=0,5
[/mm]
aber der Rest fehlt dann natürlich noch.
Weißt du vielleicht weiter? Du hattest da doch etwas raus?
Naja, trotzdem danke - hat mir schon weitergeholfen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
sagt mal: Ist es nicht so, dass alle Integrale
[mm]\int_{0}^{2\pi}\sin(mx)\sin(nx)[/mm] für [mm] m\not=n
[/mm]
[mm]\int_{0}^{2\pi}\cos(mx)\cos(nx)[/mm] für [mm] m\not=n
[/mm]
[mm]\int_{0}^{2\pi}\sin(mx)\cos(nx)[/mm] für alle m und n
gleich Null sind?
Dann kannst du dir doch vielleicht einige Integrale sparen?
Ich denke, die besten Chancen hast du bei Integration über die Periode [ [mm] -\pi [/mm] ; [mm] +\pi [/mm] ]. Ich würde der Empfehlung von Hanno nicht folgen und das Integral also nicht in zwei Teile zerlegen. Integriere lieber von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] +\pi/2
[/mm]
Hugo
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