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| Aufgabe | Finden sie die Basislösungen (nicht trivial) einer Gleichung der Form
u(s,t)=p(s)q(t) |
Hallo erstmal :)
Ich habe ein kleines Problem beim lösen einer Differentialgleichung:
Also die Aufgabe ist schon beinahe zu Ende gelöst.
Ich habe die Lösungen:
1.U(s,t) [mm] \equiv [/mm] c
[mm] 2,U(s,t)=(\lambda*cos(a_{1}sk)+\mu*sin(a_{2}sk))*exp(-a_{3}k^{2}t)
[/mm]
wobei die [mm] a_{i} \in \IR, \lambda,\mu \in \IR [/mm] und k [mm] \ge [/mm] 1
Nun haben wir schon vorher festgehalten, dass eine Linearkombination von Lösungen einer homogenen Gleichung wieder eine Lösung der Gleichung ist (Superpositionsprinzip).
Nun die Lösung die ich in meinen Unterlagen habe sit:
u(s,t)= [mm] \bruch{\lambda_{0}}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\lambda_{k}*cos(a_{1}sk)+\mu_{k}*sin(a_{2}sk))*exp(-a_{3}k^{2}t))
[/mm]
Was ich nicht ganz verstehe: Wieso ist der erste Term [mm] \bruch{\lambda_{0}}{2}? [/mm] Das ist doch der konstante Faktor, nicht? Aber in dieser Schreibweise scheint es so, als ob er was mit der nachfolgenden Reihe zu tun hat, oder gehe ich richtig in der Annahme, dass wir ihn einfach so nennen, da man so die Fourierreihe schon dastehen hat?
Dann bei der Reihe ist es mir eigentlich klar, sind einfach Linearkombinationen der Lösungen, nicht?
Dann gab es noch einen Zusatz zu dieser Lösung, die Voraussetzung: dass die [mm] \lambda_{k} [/mm] und [mm] \mu_{k} [/mm] hinreichend rasch gegen 0 konvergieren. Da bin ich mir etwas unsicher..
Hat das was damit zu tun wie oft, dass die Funktion p(s) differenzierbar ist?
Ich wäre sehr dankbar um Hilfestellung,
liebe Grüsse Ersti
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Guten Abend zusammen..
Leider bin ich immer noch an der gleichen Frage..
Also ich gehe mal davon aus, das die Darstellung
u(s,t)= [mm]\bruch{\lambda_{0}}{2}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\lambda_{k}*cos(a_{1}sk)+\mu_{k}*sin(a_{2}sk))*exp(-a_{3}k^{2}t))[/mm]
wirklich einfach eine Linearkombination der möglichen Lösungen ist (wäre mr auch plausibel =)) Und ob man nun c für den konstanten Faktor oder [mm] \bruch{\lambda_{0}}{2}[/mm] [/mm] schreibt ist wirklich nur ein Name...
Hoffe das ist richtig :s
Nun abe bei der 2.Frage ist es mir noch nicht ganz klar:
Die Voraussetzung: dass die [mm]\lambda_{k}[/mm] und [mm]\mu_{k}[/mm] hinreichend rasch gegen 0 konvergieren. Das verstehe ich einfach nicht.. Woher kommt diese Voraussetzung? Hat jemand eine Ahnung?
Würde mich freuen um einen Tipp..
Liebsten Dank Ersti!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Meli90 |
Guten Morgen
Also ich bin mir auch etwas unsicher, aber ich denke mal die geforderte Konvergenz der Koeffizienten gegen Null hat was damit zu tun, dass die Reihe ja die Linearkombinationen von möglichen Lösungen beschreibt..
Das heisst die Reihe, wenn die DGL n Lösungen hat, dann müssen die Koeffizienten der Reihe danach Null sein (abbrechen)
Wäre froh wenn das jemand bestätigen/widerlegen könnte..
Grüsse Mel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 So 09.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Sa 08.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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