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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:48 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Die Fourierkoeffizienten einer T-periodischen Funktion f lauten [mm] C_n=\bruch{1}{T}\integral_{-T/2}^{T/2}{f(x)e^{inx} dx}
[/mm]
Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=3+e^{-5ix} [/mm] für [mm] -\pi\leX<\pi [/mm] , die periodisch auf R fortgesetzt wird. Bestimmen Sie das Fourierpolynom 6. Grades F(x) in komplexer und trigonometrischer Darstellng und geben Sie den Koeffizienten [mm] a_n, b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] an. |
Guten Morgen,
ich muss die oben stehende Aufgabe irgendwie gelöst bekommen. Leider habe ich absolut keine Ahnung, was eine "Fourierreihe" ist, geschweige denn davon, wie ich derartige Aufgaben rechne.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand das Thema irgendwie erklären könnte und mir zeigen würde, wie man die Aufgabe löst. Ein paar Ansätze und Lösungswege wären super, damit ich mir da besser ein Bild machen kann.
Schon mal vielen Dank im voraus
Viele Grüße
Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andi,
alles wesentliche zu Fourierreihen findest Du hier:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe
Die Formel für die komplexen Fourierkoeefizienten oben kann so nicht stimmen. Dort "fehlt" das [mm] $\omega=\frac{2\pi}{T}$ [/mm] oben.
Zudem fällt noch auf, dass das [mm] $C_n$ [/mm] von Euch dann zudem [mm] $c_{-n}$ [/mm] im Wikilink ist.
Also ich weiß nicht:
Da sind jetzt schon so einige Unstimmigkeiten, dass ich Dich bitten würde, erstmal alles zu kontrollieren und zu verbessern. Bzw. hast Du einen Link zu dem Aufgabenblatt bzw. zu Eurem Skriptum? Vll. "klärt" sich dann ja so manches (ich bin nämlich gerade zu faul, mir zu überlegen, was dort evtl. alles anders eingeführt worden sein könnte, so dass man zu der obigen Formel kommt).
Ansonsten kannst Du durchaus mit dem Wikilink arbeiten oder meintewegen auch mal hier reingucken:
http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Kapitel 28
Edit: Ich habe den "Unsinn" meinerseits, dass das $T$ aus dem Wikilink bei Euch [mm] $\frac{\blue{T}}{2}$, [/mm] wobei [mm] $\blue{T}$ [/mm] das Eure $T$ sei, entfernt. Denn in Wahrheit steht im Wikilink alles wie bei Euch, Du könntest dort auch einfach an der Stelle mit [mm] $\int_{c}^{c+T}...$ [/mm] einfach [mm] $c=-\frac{T}{2}$ [/mm] setzen und schon erkennst Du, wie die richtige Formel für [mm] $C_n$ [/mm] mit allgemeinem $T$ in Eurer Version lautet, nämlich:
[mm] $C_n=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\exp\left(-i*n*t*\frac{2\pi}{T}\right)dt$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | Die Fourierkoeffizienten einer T-periodischen Funktion f lauten [mm] C_n=\bruch{1}{T}\integral_{-T/2}^{T/2}{f(x)e^{-inx} dx}
[/mm]
Gegeben sei die Funktion [mm] f(x)=3+e^{-5ix} [/mm] für [mm] -{\pi} {\le} [/mm] X < [mm] {\pi} [/mm] , die periodisch auf R fortgesetzt wird. Bestimmen Sie das Fourierpolynom 6. Grades F(x) in komplexer und trigonometrischer Darstellng und geben Sie den Koeffizienten [mm] a_n,b_n [/mm] und [mm] c_n [/mm] an. |
Ahoi,
stimmt, da war wirklich ein bisschen was falsch. Zum einen hatte ich bei der Funktion oben ein Minuszeichen vergessen und zum anderen hat der Formeleditor nicht das gemacht, was ich ursprünglich wollte.
Habe die "korrekt" Version jetzt oben stehen.
Ich habe mir auch schon die Wiki Page angeschaut. Auch dein PDF, was du gepostet hattest, habe ich mir angeschaut.
Das einzige, was ich verstehe, ist, dass Fourierreihen auch eine Art Annäherung für Funktionen sind, ähnlich wie die Taylorpolynome. Aus den ganzen Formeln werde ich leider null schlau.
Das ist mir alles zuviel Theorie, leider. Besser würde ich das verstehen an einem praktischen Beispiel wie der Aufgabe hier.
Würde mich freuen, wenn mir das jemand im Detail zeigen würde, wie man das wie und warum rechnet und löst. Bin da echt etwas verzweifelt :(
Vielen Dank im voraus
Grüße
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Fr 28.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das muss doch wohl ne aufgabe aus ner Vorlesung sein. Wieso weisst du dann gar nichts darüber? Von Beispielen wimmelt es hier im forum, da kannst du ja welchr raussuchen.
Es ist etwas viel verlangt, wenn wir hier vorlesung und übung dazu schriftlich machen sollen. üblicherweise ist das mehr als eine Vorlesungsstunde.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Andi,
zunächst mal zum Threadtitel:
Ganz unten steht das, was Du brauchst und machen sollst. Alles andere sind mehr oder weniger nur Überlegungen, die ich Dir mal mit dem Wikilink klarmachen will.
Also die zu $f$ entsprechende (komplexe) Fourierreihe ausgewertet an der Stelle $x$ wäre (ich schreibe das in der mir üblichen Notation)
$f(x) [mm] \sim \sum_{n=-\infty}^\infty C_n e^{i*n*\omega*x}$ [/mm] mit [mm] $\omega=\frac{2\pi}{T}$.
[/mm]
(P.S.: Im letzten Thread meinerseits stand auch Unsinn, denn im Wikilink ist das $T$ ja das gleiche wie bei Euch! Ich habe das editiert!)
Und eigentlich müßte bei Dir in der Formel auch anstatt [mm] $C_n=\int_{...}^{...}{...}\green{e^{-inx}}dx$ [/mm] meiner Ansicht nach anstatt des grünen Terms
[mm] $e^{-inx*\frac{2\pi}{T}}$
[/mm]
stehen. Vergleiche dazu den Wikilink mit der komplexen Darstellung und beachte dabei das [mm] $\omega=\frac{2\pi}{T}$.
[/mm]
Also abgesehen von dem falschen Vorzeichen bei dem Exponenten von $e$ des Integranden fehlt hier bei dem $e$ im Exponenten auch sicher noch ein weiterer Faktor, nämlich [mm] $\frac{2\pi}{T}$.
[/mm]
Also, wenn ich das jetzt mal alles richtigstelle:
$f$ sei $T$-periodisch. Dann gilt nach Wiki:
Die Fourierreihe ausgewertet an der Stelle $x$ ist
$f(x) [mm] \sim \sum_{n=-\infty}^\infty C_n e^{-i*n*\omega*x}=\lim_{k \to \infty} \sum_{n=-k}^k C_n e^{-i*n*\omega*x}$, [/mm] wobei
[mm] $\omega=\frac{2\pi}{T}$ [/mm] ist. Zudem (im Wikilink $c=0$ setzen):
[mm] $C_n=\frac{1}{T} \int_{0}^T f(t)e^{-i*n*\omega*t}dt=\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t)e^{-i*n*\omega*t}dt$
[/mm]
(Die letzte Integralgleichheit gilt wegen der $T$-Periodizität des Integranden!)
D.h.:
Du hast hier zunächst (wegen [mm] $T=2\pi$ [/mm] bei Dir)
[mm] $C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi {f(t)*\exp\left(-i*n*\frac{2\pi}{2\pi}*t\right)dt}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi {f(t)*e^{-i*n*t}dt}$
[/mm]
auszurechnen (und da kannst Du ja einfach mal $f$ einsetzen und gucken, wie weit Du mit diesem Integral kommst).
Aber wie gesagt:
WICHTIG
Am besten alles nochmal kontrollieren!
Ich bin mir sicher, dass
[mm] $C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-i*n*t}dt$
[/mm]
gilt, und:
Du hast nun erstmal
[mm] $\blue{C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-i*n*t}dt}$
[/mm]
zu berechnen, und da bleibt es nicht aus, dass Du dort einfach mal $f$ einsetzt und guckst, wie weit Du vorankommst beim Lösen dieses Integrals.
P.S.:
Noch eine Anmerkung:
Die Fourierreihe in der Stelle $x$ einer solchen $T$-periodischen Funktion $f$ kann $f(x)$ approximieren oder auch nicht, wie gut und im welchen Sinne, das hängt von $f$ ab. Unter gewissen Voraussetzungen an $f$ tut sie das äußerst gut, unter anderen äußerst schlecht. Dazu findest Du auch Aussagen im Skript.
P.P.S.:
Wenn Du die komplexen Fourierkoeffizienten [mm] $C_n$ [/mm] mal berechnet hast: Danach können wir uns an die reellen Fourierkoeffizienten machen. Wie das dann geht, solltest Du eigentlich auch mithilfe des Wikilinkes erkennen. Falls nicht, werden wir Dir gerne weiterhelfen, aber jetzt bist Du (und Deine Integrationskünste) erstmal gefragt 
Gruß,
Marcel
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