Fourierreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Do 29.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
| Aufgabe | Eine [mm] 2\pi-periodische [/mm] Funktion f : [mm] \IR \to \IR [/mm] ist auf [mm] [-\pi,\pi] [/mm] gegeben durch
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
1+cos(x), & \mbox{für} \; \bruch{\pi}{2} \le |x| \le \pi \\
-1+cos(x), & \mbox{für} \; |x| < \bruch{\pi}{2}
\end{matrix}\right.
[/mm]
(a) Skizzieren Sie den Graphen von f auf [mm] [-2\pi, 2\pi].
[/mm]
(b) Bestimmen Sie die Fourierreihe von f .
(c) Konvergiert diese Fourierreihe punktweise auf R? Geben Sie gegebenenfalls ihre Grenzfunktion auf
[mm] [-\pi,\pi) [/mm] an. |
Hallo!
zu a) hab ich schon was gezeichnet ^^
laut meiner skizze ist die funktion gerade (achsensymetrisch)
[Externes Bild http://s1.directupload.net/images/111229/lshgxvma.jpg]
b)
da die funktion gerade ist sind die [mm] b_n [/mm] = 0
(1) [mm] a_n´s [/mm] ausrechnen
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+cos(x)) * (cos(4nx)) \; dx} [/mm] + [mm] \bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ (-1+cos(x)) * (cos(4nx)) \;dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx)+cos(x)*(cos(4nx)) \; dx} [/mm] - [mm] \bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (cos(4nx)-cos(x) * (cos(4nx)) \;dx}
[/mm]
(2) vereinfachen
= [mm] \bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx) dx } [/mm] + [mm] \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx-x)) \; dx} [/mm] - [mm] \bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx) dx } [/mm] - [mm] \bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx-x)) \; dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{\pi} \bruch{sin(2\pi*n)}{4n} [/mm] + [mm] \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n+1}+ \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n-1} [/mm] - [mm] \bruch{4}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - sin(2\pi*n)}{4n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n+1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1}
[/mm]
(3) Fourier Reihe bestimmen
[mm] a_0 [/mm] = 0
damit ist die Fourierreihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1} [/mm] - [mm] \bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1})*cos(nx)
[/mm]
wollte nur fragen ob es überhaupt bis hier richtig ist^^
MFG
DerKoso
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo DerKoso,
> Eine [mm]2\pi-periodische[/mm] Funktion f : [mm]\IR \to \IR[/mm] ist auf
> [mm][-\pi,\pi][/mm] gegeben durch
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
1+cos(x), & \mbox{für} \; \bruch{\pi}{2} \le |x| \le \pi \\
-1+cos(x), & \mbox{für} \; |x| < \bruch{\pi}{2}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
>
>
> (a) Skizzieren Sie den Graphen von f auf [mm][-2\pi, 2\pi].[/mm]
>
> (b) Bestimmen Sie die Fourierreihe von f .
>
> (c) Konvergiert diese Fourierreihe punktweise auf R? Geben
> Sie gegebenenfalls ihre Grenzfunktion auf
> [mm][-\pi,\pi)[/mm] an.
> Hallo!
>
>
> zu a) hab ich schon was gezeichnet ^^
>
> laut meiner skizze ist die funktion gerade
> (achsensymetrisch)
>
>
> [Externes Bild http://s1.directupload.net/images/111229/lshgxvma.jpg]
>
Die Skizze sieht bei mir so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> b)
>
> da die funktion gerade ist sind die [mm]b_n[/mm] = 0
>
> (1) [mm]a_n´s[/mm] ausrechnen
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+cos(x)) * (cos(4nx)) \; dx}[/mm]
> + [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ (-1+cos(x)) * (cos(4nx)) \;dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx)+cos(x)*(cos(4nx)) \; dx}[/mm]
> - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (cos(4nx)-cos(x) * (cos(4nx)) \;dx}[/mm]
>
>
> (2) vereinfachen
>
> = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx) dx }[/mm]
> + [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx-x)) \; dx}[/mm]
> - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx) dx }[/mm]
> - [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx-x)) \; dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(2\pi*n)}{4n}[/mm] + [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n+1}+ \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n-1}[/mm]
> - [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - sin(2\pi*n)}{4n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n-1}[/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1}[/mm]
>
>
> (3) Fourier Reihe bestimmen
>
> [mm]a_0[/mm] = 0
>
> damit ist die Fourierreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1})*cos(nx)[/mm]
>
>
> wollte nur fragen ob es überhaupt bis hier richtig ist^^
>
>
> MFG
>
> DerKoso
>
Gruss
MathePower
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Do 29.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
Hallo MathePower,
ach mist^^ hab den fehler erst jetzt gesehen
hab den fehler verbessert Stimmt meine skizze jetzt?
Eine [mm]2\pi-periodische[/mm] Funktion f : [mm]\IR \to \IR[/mm] ist auf
[mm][-\pi,\pi][/mm] gegeben durch
[mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
-1+cos(x), & \mbox{für} \; \bruch{\pi}{2} \le |x| \le \pi \\
1+cos(x), & \mbox{für} \; |x| < \bruch{\pi}{2}
\end{matrix}\right.[/mm]
[Externes Bild http://s1.directupload.net/images/111229/lshgxvma.jpg]
> > b)
> >
> > da die funktion gerade ist sind die [mm]b_n[/mm] = 0
> >
> > (1) [mm]a_n´s[/mm] ausrechnen
> >
> > [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+cos(x)) * (cos(4nx)) \; dx}[/mm]
> > + [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ (-1+cos(x)) * (cos(4nx)) \;dx}[/mm]
>
> >
> > = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx)+cos(x)*(cos(4nx)) \; dx}[/mm]
> > - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (cos(4nx)-cos(x) * (cos(4nx)) \;dx}[/mm]
>
> >
> >
> > (2) vereinfachen
> >
> > = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx) dx }[/mm]
> > + [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx-x)) \; dx}[/mm]
> > - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx) dx }[/mm]
> > - [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx-x)) \; dx}[/mm]
>
> >
> > = [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(2\pi*n)}{4n}[/mm] + [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n+1}+ \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n-1}[/mm]
> > - [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - sin(2\pi*n)}{4n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> > - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n-1}[/mm]
>
> >
> >
> > = [mm]\bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> > - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1}[/mm]
> >
> >
> > (3) Fourier Reihe bestimmen
> >
> > [mm]a_0[/mm] = 0
> >
> > damit ist die Fourierreihe
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> > - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1})*cos(nx)[/mm]
> >
> >
> > wollte nur fragen ob es überhaupt bis hier richtig ist^^
> >
> >
> > MFG
> >
> > DerKoso
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Hallo DerKoso,
> Hallo MathePower,
>
> ach mist^^ hab den fehler erst jetzt gesehen
>
>
> hab den fehler verbessert Stimmt meine skizze jetzt?
>
Ja.
> Eine [mm]2\pi-periodische[/mm] Funktion f : [mm]\IR \to \IR[/mm] ist auf
> [mm][-\pi,\pi][/mm] gegeben durch
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
-1+cos(x), & \mbox{für} \; \bruch{\pi}{2} \le |x| \le \pi \\
1+cos(x), & \mbox{für} \; |x| < \bruch{\pi}{2}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
>
>
>
> [Externes Bild http://s1.directupload.net/images/111229/lshgxvma.jpg]
>
>
>
> > > b)
> > >
> > > da die funktion gerade ist sind die [mm]b_n[/mm] = 0
> > >
> > > (1) [mm]a_n´s[/mm] ausrechnen
> > >
> > > [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+cos(x)) * (cos(4nx)) \; dx}[/mm]
> > > + [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ (-1+cos(x)) * (cos(4nx)) \;dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx)+cos(x)*(cos(4nx)) \; dx}[/mm]
> > > - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (cos(4nx)-cos(x) * (cos(4nx)) \;dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > (2) vereinfachen
> > >
> > > = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx) dx }[/mm]
> > > + [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx-x)) \; dx}[/mm]
> > > - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx) dx }[/mm]
> > > - [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx-x)) \; dx}[/mm]
>
> >
> > >
> > > = [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(2\pi*n)}{4n}[/mm] + [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n+1}+ \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n-1}[/mm]
> > > - [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - sin(2\pi*n)}{4n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> > > - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n-1}[/mm]
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> > >
> > > = [mm]\bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> > > - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1}[/mm]
> > >
> > >
> > > (3) Fourier Reihe bestimmen
> > >
> > > [mm]a_0[/mm] = 0
> > >
> > > damit ist die Fourierreihe
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> > > - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1})*cos(nx)[/mm]
> >
> >
> > >
> > > wollte nur fragen ob es überhaupt bis hier richtig ist^^
> > >
> > >
> > > MFG
> > >
> > > DerKoso
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Fr 30.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
Hallo MathePower,
wollt nur noch fragen Stimmt meine Rechnung?
> Eine [mm]2\pi-periodische[/mm] Funktion f : [mm]\IR \to \IR[/mm] ist auf
> [mm][-\pi,\pi][/mm] gegeben durch
> [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
-1+cos(x), & \mbox{für} \; \bruch{\pi}{2} \le |x| \le \pi \\
1+cos(x), & \mbox{für} \; |x| < \bruch{\pi}{2}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
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> [Externes Bild http://s1.directupload.net/images/111229/lshgxvma.jpg]
>
>
> b)
>
> da die funktion gerade ist sind die [mm]b_n[/mm] = 0
>
> (1) [mm]a_n´s[/mm] ausrechnen
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+cos(x)) * (cos(4nx)) \; dx}[/mm]
> + [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ (-1+cos(x)) * (cos(4nx)) \;dx}[/mm]
>
>
>
>
> = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx)+cos(x)*(cos(4nx)) \; dx}[/mm]
> - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (cos(4nx)-cos(x) * (cos(4nx)) \;dx}[/mm]
>
>
>
>(2) vereinfachen
>
> = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx) dx }[/mm]
> + [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx-x)) \; dx}[/mm]
> > > > - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx) dx }[/mm]
> > > > - [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx-x)) \; dx}[/mm]
>
>
>
>
> = [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(2\pi*n)}{4n}[/mm] + [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n+1}+ \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n-1}[/mm]
> - [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - sin(2\pi*n)}{4n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n-1}[/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1}[/mm]
>
>
> (3) Fourier Reihe bestimmen
>
> [mm]a_0[/mm] = 0
>
> damit ist die Fourierreihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1})*cos(nx)[/mm]
MFG
DerKoso
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Hallo DerKoso,
> Hallo MathePower,
>
> wollt nur noch fragen Stimmt meine Rechnung?
>
> > Eine [mm]2\pi-periodische[/mm] Funktion f : [mm]\IR \to \IR[/mm] ist auf
> > [mm][-\pi,\pi][/mm] gegeben durch
> > [mm]f(x)=\left\{\begin{matrix}
-1+cos(x), & \mbox{für} \; \bruch{\pi}{2} \le |x| \le \pi \\
1+cos(x), & \mbox{für} \; |x| < \bruch{\pi}{2}
\end{matrix}\right.[/mm]
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> >
> > [Externes Bild http://s1.directupload.net/images/111229/lshgxvma.jpg]
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> > b)
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> > da die funktion gerade ist sind die [mm]b_n[/mm] = 0
> >
> > (1) [mm]a_n´s[/mm] ausrechnen
> >
> > [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+cos(x)) * (cos(4nx)) \; dx}[/mm]
> > + [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ (-1+cos(x)) * (cos(4nx)) \;dx}[/mm]
>
> >
> >
> >
> >
> > = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx)+cos(x)*(cos(4nx)) \; dx}[/mm]
> > - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (cos(4nx)-cos(x) * (cos(4nx)) \;dx}[/mm]
>
Hier muss Du Doch mit [mm]\cos\left(nx\right)[/mm] rechnen,
da die gegebene Funktion [mm]2\pi[/mm] -periodisch ist.
> >
> >
> >
> >(2) vereinfachen
> >
> > = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx) dx }[/mm]
> > + [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(4nx-x)) \; dx}[/mm]
> > > > > - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx) dx }[/mm]
> > > > > - [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ cos(4nx+x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(4nx-x)) \; dx}[/mm]
>
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> >
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> >
> > = [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(2\pi*n)}{4n}[/mm] + [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n+1}+ \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(2\pi*n}{4n-1}[/mm]
> > - [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - sin(2\pi*n)}{4n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> > - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n) - cos(2\pi*n)}{4n-1}[/mm]
>
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> >
> > = [mm]\bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> > - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1}[/mm]
> >
> >
> > (3) Fourier Reihe bestimmen
> >
> > [mm]a_0[/mm] = 0
> >
> > damit ist die Fourierreihe
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{sin(4\pi*n)}{\pi*n} +\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n+1}[/mm]
> > - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(4\pi*n)}{4n-1})*cos(nx)[/mm]
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> MFG
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> DerKoso
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Fr 30.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
Hallo MathePower,
hmm wo du recht hast hast du recht^^ hab beim Intervall zerlegen wohl was falsch gemacht^^
(1) [mm]a_n´s[/mm] ausrechnen
[mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+cos(x)) * (cos(nx)) \; dx}[/mm] + [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (-1+cos(x)) * (cos(nx)) \;dx}[/mm]
= [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(nx)+cos(x)*(cos(nx)) \; dx}[/mm] - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (cos(nx)-cos(x) * (cos(nx)) \;dx}[/mm]
(2) vereinfachen
= [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(nx) \; dx }[/mm] + [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ cos(nx-x) \; dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(nx+x)) \; dx}[/mm]- [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(nx)\;dx }[/mm] + [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ cos(nx-x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(nx+x)) \; dx}[/mm]
= [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(\pi*n)}{n}[/mm] - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{2}{\pi}*n)}{n-1}[/mm]+[mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{2}{\pi} * n)}{n+1}[/mm] -[mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(\pi*n) - sin(\bruch{2}{\pi}*n)}{n}[/mm] - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi * n) + cos(\bruch{2}{\pi} * n )}{n-1}[/mm] + [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{2}{\pi} * n) - sin(\pi * n)}{n+1}[/mm]
= [mm]-\bruch{4*sin(\pi*n)}{\pi*n}[/mm]-[mm] \bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi*n)}{n-1}[/mm]-[mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi*n)}{n+1}[/mm]
(3) Fourier Reihe bestimmen
[mm]a_0[/mm] = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+cos(x)) \; dx}[/mm] + [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (-1+cos(x)) \;dx}[/mm] = 0
damit ist die Fourierreihe
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-\bruch{4*sin(\pi*n)}{\pi*n}- \bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi*n)}{n-1}-\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi*n)}{n+1}})*cos(nx)[/mm]
Stimmt es bis Hier ^^
MFG
DerKoso
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Hallo DerKoso,
> Hallo MathePower,
>
> hmm wo du recht hast hast du recht^^ hab beim Intervall
> zerlegen wohl was falsch gemacht^^
>
> (1) [mm]a_n´s[/mm] ausrechnen
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+cos(x)) * (cos(nx)) \; dx}[/mm]
> + [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (-1+cos(x)) * (cos(nx)) \;dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(nx)+cos(x)*(cos(nx)) \; dx}[/mm]
> - [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (cos(nx)-cos(x) * (cos(nx)) \;dx}[/mm]
>
> (2) vereinfachen
>
> = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(nx) \; dx }[/mm]
> + [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ cos(nx-x) \; dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(nx+x)) \; dx}[/mm]-
> [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(nx)\;dx }[/mm]
> + [mm]\bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ cos(nx-x) dx }+ \bruch{2}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(nx+x)) \; dx}[/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(\pi*n)}{n}[/mm] - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{2}{\pi}*n)}{n-1}[/mm]+[mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{2}{\pi} * n)}{n+1}[/mm]
> -[mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(\pi*n) - sin(\bruch{2}{\pi}*n)}{n}[/mm]
> - [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi * n) + cos(\bruch{2}{\pi} * n )}{n-1}[/mm]
> + [mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{2}{\pi} * n) - sin(\pi * n)}{n+1}[/mm]
>
>
> = [mm]-\bruch{4*sin(\pi*n)}{\pi*n}[/mm]-[mm] \bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi*n)}{n-1}[/mm]-[mm]\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi*n)}{n+1}[/mm]
>
> (3) Fourier Reihe bestimmen
>
> [mm]a_0[/mm] = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+cos(x)) \; dx}[/mm]
> + [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (-1+cos(x)) \;dx}[/mm]
> = 0
>
>
> damit ist die Fourierreihe
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-\bruch{4*sin(\pi*n)}{\pi*n}- \bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi*n)}{n-1}-\bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi*n)}{n+1}})*cos(nx)[/mm]
>
>
> Stimmt es bis Hier ^^
>
> MFG
>
> DerKoso
>
Leider nein.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 31.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
Hallo MathePower,
hmm ist alles falsch ?
wo genau liegt den mein Fehler.
MFG
DerKoso
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Hallo DerKoso,
> Hallo MathePower,
>
> hmm ist alles falsch ?
>
> wo genau liegt den mein Fehler.
>
Bei Schritt (2) muss es statt
[mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(\pi\cdot{}n)}{n} - \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{2}{\pi}\cdot{}n)}{n-1} + \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{2}{\pi} \cdot{} n)}{n+1} - \bruch{4}{\pi} \bruch{sin(\pi\cdot{}n) - sin(\bruch{2}{\pi}\cdot{}n)}{n} - \bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi \cdot{} n) + cos(\bruch{2}{\pi} \cdot{} n )}{n-1} + \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{2}{\pi} \cdot{} n) - sin(\pi \cdot{} n)}{n+1}[/mm]
so heißen:
[mm]\bruch{4}{\pi} \bruch{sin(\blue{\bruch{\pi}{2}}\cdot{}n)}{n} - \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{\blue{\pi}}{\blue{2}}\cdot{}n)}{n-1} + \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{\blue{\pi}}{\blue{2}} \cdot{} n)}{n+1} - \bruch{4}{\pi} \bruch{sin(\pi\cdot{}n) - sin(\bruch{\blue{\pi}}{\blue{2}}\cdot{}n)}{n} - \bruch{2}{\pi} \bruch{sin(\pi \cdot{} n) + cos(\bruch{\blue{\pi}}{\blue{2}}\cdot{} n )}{n-1} + \bruch{2}{\pi} \bruch{cos(\bruch{\blue{\pi}}{\blue{2}}\cdot{} n) - sin(\pi \cdot{} n)}{n+1}[/mm]
Ohne Gewähr, daß das nicht der einzige Fehler war.
>
> MFG
>
> DerKoso
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Sa 31.12.2011 | | Autor: | DerKoso |
Hallo MathePower,
>
> Ohne Gewähr, daß das nicht der einzige Fehler war.
>
ich tippe eher das ich mehr Fehler in meiner Rechnung da
werde mich wohl damit intensiv im nächsten Jahr beschäftigen^^
MFG
DerKoso
Danke noch mal für deine Hilfe
und Frohes Neues und ein Guten Rutsch!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Do 15.03.2012 | | Autor: | DerKoso |
Hey hab mich jetzt wieder an diese Fourierreihe getraut^^ wollte jetzt nur fragen ob ich es richtig gemacht hab^^
b)
Da die Funktion Gerade ist gilt => [mm] b_{n} [/mm] = 0
(i) als erstes [mm] a_0 [/mm] aus rechnen
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{1+cos(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{-1+cos(x) dx}) [/mm] = 0
(ii) jetzt [mm] a_n [/mm] - Koeffizienten berechnen
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(1+cos(x))cos(nx) dx} [/mm] + [mm] \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(-1+cos(x)) cos(nx) dx})
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(nx)) dx} +\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(x-nx)) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(cos(x+nx)) dx} -\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{ (cos(nx) dx} [/mm] + [mm] \integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(x-nx) dx} +\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\pi}{(cos(x+nx)) dx})
[/mm]
ist es bis hier richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Fr 16.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh keinen Fehler
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Fr 16.03.2012 | | Autor: | DerKoso |
oki dann mach ich gerade weiter^^
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] ( | [mm] \bruch{sin(\bruch{\pi}{2}* n)}{n} [/mm] - [mm] \bruch{sin(0*n)}{n}| [/mm] + | [mm] \bruch{sin((1-n) * \bruch{\pi}{2} )}{1-n} [/mm] - [mm] \bruch{sin((1-n) * 0)}{1-n} [/mm] | + | [mm] \bruch{sin((1+n) * \bruch{\pi}{2})}{1+n} [/mm] - [mm] \bruch{sin((1+n) *0)}{1+n}| [/mm] - | [mm] \bruch{sin(\pi * n)}{n} [/mm] - [mm] \bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n)}{n}| [/mm] + | [mm] \bruch{sin((1-n) * \pi)}{1-n} [/mm] - [mm] \bruch{sin((1-n) * \bruch{\pi}{2})}{1-n}| [/mm] + | [mm] \bruch{sin((1+n) * \pi)}{1+n} [/mm] - [mm] \bruch{sin((1+n) * \bruch{\pi}{2})}{1+n}| [/mm] )
[mm] =\bruch{2}{\pi} (\bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n)}{n} [/mm] + [mm] \bruch{cos((\bruch{\pi}{2}) * n)}{1-n} [/mm] + [mm] \bruch{cos((\bruch{\pi}{2}) * n)}{1+n} [/mm] - [mm] \bruch{sin(\pi * n)}{n} [/mm] + [mm] \bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n)}{n} [/mm] + [mm] \bruch{sin(\pi * n)}{1-n} [/mm] - [mm] \bruch{cos(\bruch{\pi}{2} * n)}{1-n} [/mm] - [mm] \bruch{sin((\pi * n)}{1+n} [/mm] + [mm] \bruch{cos((\bruch{\pi}{2}) * n)}{1+n} [/mm] )
Stimmt das bis hier auch noch ?
(aber kann mir irgend wie nicht Vorstellen das es Stimmt ist einfach viel zu viel Aufwand für eine Klausuraufgabe^^)
MFG
Der Koso
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Hallo DerKoso,
> oki dann mach ich gerade weiter^^
>
>
> [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{2}{\pi}[/mm] ( | [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi}{2}* n)}{n}[/mm]
> - [mm]\bruch{sin(0*n)}{n}|[/mm] + | [mm]\bruch{sin((1-n) * \bruch{\pi}{2} )}{1-n}[/mm]
> - [mm]\bruch{sin((1-n) * 0)}{1-n}[/mm] | + | [mm]\bruch{sin((1+n) * \bruch{\pi}{2})}{1+n}[/mm]
> - [mm]\bruch{sin((1+n) *0)}{1+n}|[/mm] - | [mm]\bruch{sin(\pi * n)}{n}[/mm] -
> [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n)}{n}|[/mm] + | [mm]\bruch{sin((1-n) * \pi)}{1-n}[/mm]
> - [mm]\bruch{sin((1-n) * \bruch{\pi}{2})}{1-n}|[/mm] + |
> [mm]\bruch{sin((1+n) * \pi)}{1+n}[/mm] - [mm]\bruch{sin((1+n) * \bruch{\pi}{2})}{1+n}|[/mm]
> )
>
>
> [mm]=\bruch{2}{\pi} (\bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n)}{n}[/mm] +
> [mm]\bruch{cos((\bruch{\pi}{2}) * n)}{1-n}[/mm] +
> [mm]\bruch{cos((\bruch{\pi}{2}) * n)}{1+n}[/mm] - [mm]\bruch{sin(\pi * n)}{n}[/mm]
> + [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n)}{n}[/mm] + [mm]\bruch{sin(\pi * n)}{1-n}[/mm]
> - [mm]\bruch{cos(\bruch{\pi}{2} * n)}{1-n}[/mm] - [mm]\bruch{sin((\pi * n)}{1+n}[/mm]
> + [mm]\bruch{cos((\bruch{\pi}{2}) * n)}{1+n}[/mm] )
>
>
> Stimmt das bis hier auch noch ?
Nein, das stimmt nicht,
da sich die Cosinus-Terme gegenseitig aufheben müssen.
> (aber kann mir irgend wie nicht Vorstellen das es Stimmt
> ist einfach viel zu viel Aufwand für eine
> Klausuraufgabe^^)
>
>
> MFG
>
> Der Koso
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Fr 16.03.2012 | | Autor: | DerKoso |
Hallo MathePower,
Habs mal noch mal gerrechnet ^^
+ | [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi}{2}* n)}{n}[/mm] - [mm]\bruch{sin(0*n)}{n}|[/mm] = [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi}{2}* n)}{n}[/mm]
+ | [mm]\bruch{sin((1-n) * \bruch{\pi}{2} )}{1-n}[/mm] - [mm]\bruch{sin((1-n) * 0)}{1-n}[/mm] | = [mm]\bruch{sin((1-n) * \bruch{\pi}{2} )}{1-n}[/mm]
+ | [mm]\bruch{sin((1+n) * \bruch{\pi}{2})}{1+n}[/mm] - [mm]\bruch{sin((1+n) *0)}{1+n}|[/mm] = [mm]\bruch{sin((1+n) * \bruch{\pi}{2})}{1+n}[/mm]
- | [mm]\bruch{sin(\pi * n)}{n}[/mm] - [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n)}{n}|[/mm] = - [mm]\bruch{sin(\pi * n)}{n}[/mm] + [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n)}{n}[/mm]
+ | [mm]\bruch{sin((1-n) * \pi)}{1-n}[/mm] - [mm]\bruch{sin((1-n) * \bruch{\pi}{2})}{1-n}|[/mm] = [mm]\bruch{sin((n * \pi)}{1-n}[/mm] - [mm]\bruch{cos( n * \bruch{\pi}{2})}{1-n}[/mm]
Bis hier verstehe ich das noch, aber das der Term hier laut wolframalpha negativ wird, verstehe ich nicht
laut dem minus im Betrag musste doch der Cosinus Positiv werden --= +
+ | [mm]\bruch{sin((1+n) * \pi)}{1+n}[/mm] - [mm]\bruch{sin((1+n) * \bruch{\pi}{2})}{1+n}|[/mm] = [mm]- \bruch{sin(n * \pi)}{1+n}[/mm] - [mm]\bruch{cos( n * \bruch{\pi}{2})}{1+n}[/mm]
aber dann würde es ja Stimmen wie Du es gemeint hast (die Cosinus-Terme heben sich gegenseitig auf)
[mm]a_n =\bruch{2}{\pi} (\bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n)}{n}[/mm] + [mm]\bruch{cos((\bruch{\pi}{2}) * n)}{1-n}[/mm] +[mm]\bruch{cos((\bruch{\pi}{2}) * n)}{1+n}[/mm] - [mm]\bruch{sin(\pi * n)}{n}[/mm] + [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n)}{n}[/mm] + [mm]\bruch{sin(\pi * n)}{1-n}[/mm] - [mm]\bruch{cos(\bruch{\pi}{2} * n)}{1-n}[/mm] - [mm]\bruch{sin((\pi * n)}{1+n}[/mm] - [mm]\bruch{cos((\bruch{\pi}{2}) * n)}{1+n}[/mm] )
[mm]a_n = \bruch{2}{\pi} ( 2*( (\bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n)}{n}) + sin(\pi *n) ( - \bruch{1}{n} + \bruch{1}{1-n} -\bruch{1}{1+n}))[/mm]
Stimmt das Soweit ? (oder hab ich wieder ein fehler gemacht^^)
MFG
Der Koso
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Fr 16.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
mir ist es zu mühsam alles nachzurechnen, aber sicher ist [mm] sin(n*\pi)=0 [/mm] und [mm] sin(n*\pi/2)=0 [/mm] für n gerade und für n=4k+1 und 4k-1 abwechselnd -1 und +1
ich prüf meine rechnngen in dem ich die ersten 4 bis 6 terme plotte und sehe ob sie die fkt grob annähern.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Fr 16.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
man sollte sich die integrale zuerst ansehen,
für cos(kx) für k gerade ergibt das Integral von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] 0 ebenso das von [mm] \pi/2 [/mm] bis [mm] \pi
[/mm]
für k ungerade kannst du Itegrale zusmmenfassen.
sieh dir das mal genauer an.
Natürlich sieht man das auch an deinen endergebnissen, wenn du die Werte für n einsetzt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Fr 16.03.2012 | | Autor: | DerKoso |
Hallo leduart
wie meinst das den Genau wenn ich die zusammenfasse dann kommt doch 0 raus oder ?
[mm] \integral_{0}^{\pi}{(cos(nx)) - cos(nx dx} [/mm] (da ja das eine cos(nx) negativ ist
MFG
DerKoso
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Fr 16.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. unterscheiden zw n gerade und n ungerade.
2. dein integral von [mm] \pi/2 [/mm] bis [mm] \pi [/mm] wird doch abgezogen, da es dann negativ ist, hat man 2 mal das integral von 0 bis [mm] \pi/2.
[/mm]
also mach erst mal fallunterscheidungen und rechne dann los.
hab dabei die fkt und oder die graphen von cos(kx) k=1,2,3,4 vor dir oder im Kopf.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Fr 16.03.2012 | | Autor: | DerKoso |
Hallo leduart
hmm da muss ich mir noch mal das schema anschauen werde mal noch paar aufgaben rechnen^^
danke für eure Hilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:40 Sa 17.03.2012 | | Autor: | DerKoso |
Hey da bin ich wieder ^^
habs jetzt mal mit deinen tipp versucht und sieh da es kommt meine Funktion bei Wolfram alpha raus^^
da mir ja die Funktion 1+ cos(x) für |x| < [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und -1 + cos(x) [mm] \bruch{\pi}{2} \le [/mm] |x| [mm] \le \pi
[/mm]
da mir ja cos(x) schon als Fourierreihe gegeben ist muss ich das ja nicht ausrechnen ( ja ich hab dafür lange gebraucht xD)
also muss ich ja nur denn fall für +1 und -1 beachten
[mm] a_0 [/mm] = 0
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{4}{\pi} (\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ cos(nx) dx} [/mm] ) = [mm] \bruch{4}{\pi} [/mm] * [mm] \bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n) }{n}
[/mm]
damit ist meine Fourier Reihe = cos(x) + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{4}{\pi} [/mm] * [mm] \bruch{sin(\bruch{\pi}{2} * n) }{n} [/mm] * cos(nx) )
Stimmt das so weit ?
hier der Wolfram link sieht so aus wie meine skizze^^
http://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28x%29+%2B+sum_%28n%3D1%29^%28100%29+%282%2Fpi%28+%282*sin%28%28n+%CF%80%29%2F2%29%29%2Fn+%29%29*cos%28nx%29
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Sa 17.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
für [mm] |x|<\pi/2 [/mm] hattest du doch -1+cosx
d.h. etwa für x=0 f(x)=-1+1=0 also stimmt deine skizze nicht, oder deine Funktionsdef.
damit kann auch deine Reihe, die bei 0 1 ergibt nicht stimmen.
Ich sehe gerade: es ist nur das Vorzeichen von [mm] sin(n*\pi/2) [/mm] in der Summe falsch,
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Sa 17.03.2012 | | Autor: | DerKoso |
> Hallo
> für [mm]|x|<\pi/2[/mm] hattest du doch -1+cosx
> d.h. etwa für x=0 f(x)=-1+1=0 also stimmt deine skizze
> nicht, oder deine Funktionsdef.
> damit kann auch deine Reihe, die bei 0 1 ergibt nicht
> stimmen.
> Gruss leduart
sorry^^ mein Fehler ich hatte am anfang das falsch abgetippt
also 1+cos(x) für [mm]|x|<\pi/2[/mm] und -1+cos(x) für [mm]\pi/2 \le |x| \le \pi[/mm]
damit sollte ja dann meine Skizze stimmen
und zu c)
wurde ich sagen das die Fourier reihe überall punktweise Konvergiert außer an den Sprungstellen (stimmt das so ?)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Sa 17.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass du auf posts zu wenig reagierst find ich schade!Mathepower hatte dir ne graphik zu der aufgeschriebenen fkt geliefert, warum hast du darauf nicht reagiert?
die fkt konvergiert doch überall punktweise, an den Sprungstellen eben nur noch punktweise ausserhalb denk ich gleichmäsig.
gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Sa 17.03.2012 | | Autor: | DerKoso |
Hallo leduart
> dass du auf posts zu wenig reagierst find ich
> schade!Mathepower hatte dir ne graphik zu der
> aufgeschriebenen fkt geliefert, warum hast du darauf nicht
> reagiert?
hab ich doch du musst weiter oben gucken der Dritte Post (ist mein Fehler hätte ein neuen Thread Starten müssen)
> die fkt konvergiert doch überall punktweise, an den
> Sprungstellen eben nur noch punktweise ausserhalb denk ich
> gleichmäsig.
oki danke für die Antwort
(aber wieso Konvergiert die Funktion noch Punktwiese bei den Sprungstellen ?)
MFG
DerKoso
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Sa 17.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
sie konv. jeweils von links oder rechts, Aber das ist nur 90% sicher, sieh lieber nach was ihr über konv, von fourrierreihen gemacht habt.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Sa 17.03.2012 | | Autor: | DerKoso |
das werde ich
Danke Für deine Hilfe
Danke auch dir MathePower für deine Hilfe
verstehe das jetzt besser mit der Fourierreihen Entwicklung
MFG
DerKoso
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