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| Aufgabe | Gegeben sei die Periodische Funktion [mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0\le x\le1 \\ 0, & \mbox{für } 1\le x\le3, k\varepsilon\IZ.\\ f(x+3k) & \mbox{für } sonst \end{cases}
[/mm]
a) Skizzieren Sie f(x) für [mm] x\varepsilon[-6;6].
[/mm]
Erste Frage: Im Kartesisches Koordinatensystem würde die Skizze doch folgendermaßen aussehen, also eine Linie ausgehend von (0,0) nach (0,1) dann von (0,1) eine Linie nach (1,1) dann eine gestrichelte Linie nach (1,0) dann eine Linie von (1,0) nach (3,0) und von da aus eine Linie nach (3,3) von (3,3) dann eine Linie nach (6,3).
Die Kurve würde wie eine Rechteckkurve (Rechteckimpuls) aussehen oder? Die Periode ist p=3 oder? |
b) Berechnen Sie die Fourierreihe von f(x) und geben Sie das trigonometrische Polynom
[mm] F_{6}(x)=\bruch{a_{0}}{2}+\summe_{n=1}^{6}(a_{n}*cos(\bruch{2\pi}{p}*nx)+b_{n}*sin(\bruch{2\pi}{p}*nx)) [/mm] an.
Lösungsansatz:
Da f(x) eine ungerade Funktion ist, reduziert sich ihre Entwicklung auf [mm] f(x)=\summe_{n=1}^{\infty}*b_{n}*sin(nx) [/mm] (nur Sinusglieder).
[mm] b_{n}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{3}{f(x)*sin(nx) dx}=\bruch{1}{2}[\integral_{0}^{1}{1*sin(nx) dx}+\integral_{1}^{3}{(0)*sin(nx) dx}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{sin(nx) dx}=\bruch{1}{2}[-\bruch{1}{n}*cos(nx)]\vmat{ 1 \\ 0 }
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2n}[-cos(nx)]\vmat{ 1 \\ 0 }=\bruch{1}{2n}[-cos(n*1)+cos(n*0)]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2n}(1-cos(n)
[/mm]
Schönen guten Abend alle zusammen,
bevor ich jetzt weiter rechne wollte ich mal Fragen ob meine Berechnung bis hier hin richtig ist?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mi 17.04.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo James Dean,
die schriftliche Erklärung der Funktionsform ist zwar etwas umständlich, aber Deine Zusammenfassung ist schon okay. Es handelt sich um eine Rechteckpulsfunktion der Länge 1 (bei einem Funktionswert von 1) mit einer Periode von 3.
Das ist soweit okay. Wenn Du Dir diese Funktion mal periodisch fortsetzt, dann möchte ich gerne wissen, weswegen Du glaubst, dass diese Funktion ungerade ist.
Eine Funktion ist dann ungerade, wenn gilt:
[mm] f(x) = -f(-x) [/mm]
Stimmt dies hier?
Viele Grüße,
Infinit
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| Aufgabe | Dann habe ich das falsch verstanden! Meine Annahme das die Funktion ungerade ist lag daran das es sich um eine Funktion ersten Grades handelt.
Bei der Funktion müsste eigentlich gelten [mm] a_{n}\not=0 [/mm] und [mm] b_{n}\not=0 [/mm] das heißt die Funktion ist weder gerade noch ungerade es liegt also keine Symmetrie vor oder? |
Stimmt den meine Berechnung für [mm] b_{n}?
[/mm]
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mi 17.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1_wie kommst du auf das 1/2 vor dem Integral?
2. wenn die Periode 3 ist, hat sin(nx) doch nicht die Periode 3?
also ist deine Formel bisher falsch.
Gruss leduart
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| Aufgabe | [mm] \bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{3}{f(x) dx}=\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{3}{1* dx}
[/mm]
[mm] \bruch{a_{0}}{2}*[x]\vmat{ 3 \\ 0 }=\bruch{3*a_{0}}{2}
[/mm]
[mm] a_{0}=\bruch{2}{3}\integral_{0}^{3}{f(x)* dx}
[/mm]
stimmt die Berechnung für [mm] a_{0}?
[/mm]
Die eigentliche Periode für den Sinus ist ja [mm] 2\pi [/mm] und für den Cosinus ist die Periode [mm] 2\pi*k [/mm] |
Demnach vermute ich das die Formel zur Berechnung vielleicht so aussieht:
[mm] a_{n}=\bruch{2}{3}*\integral_{0}^{1}{1*cos(\bruch{2\pi*k}{3}*nx) dx}+\integral_{1}^{3}{(0)*cos(\bruch{2\pi*k}{3}*nx) dx}
[/mm]
und für [mm] b_{n}:
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{2}{3}*\integral_{0}^{1}{1*sin(\bruch{2\pi}{3}*nx) dx}+\integral_{1}^{3}{(0)*sin(\bruch{2\pi}{3}*nx) dx}
[/mm]
Sehen meine Formeln jetzt besser aus?
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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Hallo JamesDean,
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{3}{f(x) dx}=\bruch{a_{0}}{2}*\integral_{0}^{3}{1* dx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{a_{0}}{2}*[x]\vmat{ 3 \\ 0 }=\bruch{3*a_{0}}{2}[/mm]
>
> [mm]a_{0}=\bruch{2}{3}\integral_{0}^{3}{f(x)* dx}[/mm]
>
> stimmt die Berechnung für [mm]a_{0}?[/mm]
>
Ja.
> Die eigentliche Periode für den Sinus ist ja [mm]2\pi[/mm] und für
> den Cosinus ist die Periode [mm]2\pi*k[/mm]
> Demnach vermute ich das die Formel zur Berechnung
> vielleicht so aussieht:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{3}*\integral_{0}^{1}{1*cos(\bruch{2\pi*k}{3}*nx) dx}+\integral_{1}^{3}{(0)*cos(\bruch{2\pi*k}{3}*nx) dx}[/mm]
>
Hier ist das k zuviel:
[mm]a_{n}=\bruch{2}{3}*\left\blue{(}\integral_{0}^{1}{1*cos(\bruch{2\pi}{3}*nx) dx}+\integral_{1}^{3}{(0)*cos(\bruch{2\pi}{3}*nx) dx}\right\blue{)}[/mm]
>
> und für [mm]b_{n}:[/mm]
>
>
> [mm]b_{n}=\bruch{2}{3}*\integral_{0}^{1}{1*sin(\bruch{2\pi}{3}*nx) dx}+\integral_{1}^{3}{(0)*sin(\bruch{2\pi}{3}*nx) dx}[/mm]
>
Der Faktor [mm]\bruch{2}{3}[/mm] steht doch vor beiden Integralen:
[mm]b_{n}=\bruch{2}{3}*\left\blue{(}\integral_{0}^{1}{1*sin(\bruch{2\pi}{3}*nx) dx}+\integral_{1}^{3}{(0)*sin(\bruch{2\pi}{3}*nx) dx}\right}\blue{)}[/mm]
> Sehen meine Formeln jetzt besser aus?
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.DEan
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Mi 17.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
Oh sorry hab die Klammer vergessen [mm] \bruch{2}{3} [/mm] steht natürlich für beide Integrale.
Dann mach ich mich mal an die Berechnung ... Fortsetzung folgt
Mit freundlichen Grüßen
J.DEan
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| Aufgabe | [mm] a_{n}=\bruch{2}{3}(\cdot{}\integral_{0}^{1}{1\cdot{}cos(\bruch{2\pi\cdot{}k}{3}\cdot{}nx) dx}+\integral_{1}^{3}{(0)\cdot{}cos(\bruch{2\pi\cdot{}k}{3}\cdot{}nx) dx})
[/mm]
[mm] a_{n}=\bruch{2}{3}\cdot{}\integral_{0}^{1}{1\cdot{}cos(\bruch{2\pi\cdot{}k}{3}\cdot{}nx) dx}+0
[/mm]
[mm] =[\bruch{3sin(\bruch{2\pi*n*x}{3})}{2\pi*n}]\vmat{ 1 \\ 0 } [/mm] die Integrationsgrenzen eingesetzt ergibt:
[mm] =\bruch{3sin(\bruch{2\pi*n}{3})}{2\pi*n}
[/mm]
Da aber nach der Reihe gefragt ist muss ich ja für n z.B. 1 einsetzen das würde zu folgender Reihe führen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}*\bruch{3}{2\pi}*sin(\bruch{2\pi}{3}) [/mm] |
stimmt die Berechnung für die Reihe?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{3}(\cdot{}\integral_{0}^{1}{1\cdot{}cos(\bruch{2\pi\cdot{}k}{3}\cdot{}nx) dx}+\integral_{1}^{3}{(0)\cdot{}cos(\bruch{2\pi\cdot{}k}{3}\cdot{}nx) dx})[/mm]
>
>
> [mm]a_{n}=\bruch{2}{3}\cdot{}\integral_{0}^{1}{1\cdot{}cos(\bruch{2\pi\cdot{}k}{3}\cdot{}nx) dx}+0[/mm]
>
> [mm]=[\bruch{3sin(\bruch{2\pi*n*x}{3})}{2\pi*n}]\vmat{ 1 \\ 0 }[/mm]
> die Integrationsgrenzen eingesetzt ergibt:
>
> [mm]=\bruch{3sin(\bruch{2\pi*n}{3})}{2\pi*n}[/mm]
>
Der Koeffizient ist noch mit [mm]\bruch{2}{3}[/mm] zu multiplizieren.
> Da aber nach der Reihe gefragt ist muss ich ja für n z.B.
> 1 einsetzen das würde zu folgender Reihe führen:
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}*\bruch{3}{2\pi}*sin(\bruch{2\pi}{3})[/mm]
>
Das ist nicht die Reihe.
> stimmt die Berechnung für die Reihe?
>
Es gibt noch die Koeffizienten [mm]b_{n}[/mm], die zu berechnen sind.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | [mm] a_{n}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\pi}\cdot{}sin(\bruch{2\pi}{3})
[/mm]
[mm] b_{n}=\bruch{2}{3}(-\bruch{3cos(\bruch{2\pi}{3})}{2\pi}+\bruch{3}{2*\pi})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\pi}+\summe_{n=1}^{\infty}*(-\bruch{1}{\pi})*cos(\bruch{2\pi}{3}) [/mm] |
Sind die Berechnungen für [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] soweit in Ordnung?
Müssen diese Einzelnen Reihen noch irgendwie Verknüpft werden oder kann jede für sich stehen?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
>
> [mm]a_{n}=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{\pi}\cdot{}sin(\bruch{2\pi}{3})[/mm]
>
Dieser Koeffizient muss lauten:
[mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi\red{n}}\cdot{}sin(\bruch{2\pi\red{n}}{3})[/mm]
> [mm]b_{n}=\bruch{2}{3}(-\bruch{3cos(\bruch{2\pi}{3})}{2\pi}+\bruch{3}{2*\pi})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\pi}+\summe_{n=1}^{\infty}*(-\bruch{1}{\pi})*cos(\bruch{2\pi}{3})[/mm]
Ebenso dieser Koeffizient:
[mm]b_{n}=\bruch{2}{3}(-\bruch{3cos(\bruch{2\pi\red{n}}{3})}{2\pi\red{n}}+\bruch{3}{2*\pi\red{n}})[/mm]
> Sind die Berechnungen für [mm]a_{n}[/mm] und [mm]b_{n}[/mm] soweit in
> Ordnung?
>
>
> Müssen diese Einzelnen Reihen noch irgendwie Verknüpft
> werden oder kann jede für sich stehen?
>
Das sind nicht einzelne Reihen, sondern die Koeffizienten der Reihen.
Die müssen jetzt zusammengebaut werden.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | [mm] a_{n}=\bruch{1}{\pi{n}}\cdot{}sin(\bruch{2\pi{n}}{3})
[/mm]
[mm] b_{n}=-\bruch{cos(\bruch{2\pi{n}}{3})}{\pi{n}}+\bruch{1}{\pi{n}}
[/mm]
Also muss ich [mm] a_{1}, a_{2} [/mm] usw bis [mm] a_{6} [/mm] und das selbe für [mm] b_{1}, b_{2} [/mm] usw bis [mm] b_{6}
[/mm]
[mm] a_{1}[\bruch{1}{\pi}\cdot{}sin(\bruch{2\pi}{3})] [/mm] + [mm] a_{2}[\bruch{1}{2*\pi}\cdot{}sin(\bruch{4\pi}{3})] [/mm] das ganze bis [mm] a_{6}
[/mm]
[mm] b_{1}[-\bruch{cos(\bruch{2\pi}{3})}{\pi}+\bruch{1}{\pi}] [/mm] + [mm] b_{2}[-\bruch{cos(\bruch{4\pi}{3})}{2*\pi}+\bruch{1}{2*\pi}] [/mm] das ganze bis [mm] b_{6} [/mm] |
stimmt die Berechnung?
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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Hallo JamesDean,
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{\pi{n}}\cdot{}sin(\bruch{2\pi{n}}{3})[/mm]
>
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> [mm]b_{n}=-\bruch{cos(\bruch{2\pi{n}}{3})}{\pi{n}}+\bruch{1}{\pi{n}}[/mm]
>
> Also muss ich [mm]a_{1}, a_{2}[/mm] usw bis [mm]a_{6}[/mm] und das selbe für
> [mm]b_{1}, b_{2}[/mm] usw bis [mm]b_{6}[/mm]
>
> [mm]a_{1}[\bruch{1}{\pi}\cdot{}sin(\bruch{2\pi}{3})][/mm] +
> [mm]a_{2}[\bruch{1}{2*\pi}\cdot{}sin(\bruch{4\pi}{3})][/mm] das
> ganze bis [mm]a_{6}[/mm]
>
> [mm]b_{1}[-\bruch{cos(\bruch{2\pi}{3})}{\pi}+\bruch{1}{\pi}][/mm] +
> [mm]b_{2}[-\bruch{cos(\bruch{4\pi}{3})}{2*\pi}+\bruch{1}{2*\pi}][/mm]
> das ganze bis [mm]b_{6}[/mm]
> stimmt die Berechnung?
>
Die Berechnung der Koeffizienten stimmt jetzt.
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
>
> J.Dean
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Mi 17.04.2013 | | Autor: | JamesDean |
Juhu!!! Das war ja Heute kurz und schmerzlos hingegen dem letzten mal....Vielen Dank für deine Hilfe MathePower
Mit freundlichen Grüßen
J.Dean
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Do 18.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib doch deine Reihe mal auf, du hast so viele Ungenauigkeiten, dass es zweifelhaft ist, ob sie richtig ist.
wenn du sie hast lass dir die Reihe mal z.b. von wolfran alpha zeichnen und sieh nach , ob sie deine fkt annähert!
gRUSS LEDUART
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