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| Aufgabe | Sei f durch [mm] f(x)=x^2 [/mm] auf [mm] [0,2\pi) [/mm] definiert und sonst [mm] 2\pi-periodisch [/mm] fortgesetzt.
Rechnen sie die Fourierreihe der Funktion f aus. |
[mm] a_0=\integral_{0}^{2\pi}{x^2 dx} [/mm] = [mm] \frac{8\pi^2}{3}
[/mm]
[mm] a_n=\frac{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{x^2*cos(nx) dx}
[/mm]
[mm] =\frac{1}{\pi}[\frac{2nx*cos(nx)+(n^2*x^2-2)*sin(n*x)}{n²}]_{0}^{2\pi}
[/mm]
[mm] =\frac{4\pi*n*cos(2\pi*n)+(4\pi^2*n^2-2)*sin(2\pi*n)}{\pi*n^3}
[/mm]
Selbiges würde ich jetzt noch für [mm] b_n [/mm] machen aber ich bin mir ziemlich sicher, dass ich was falsch gemacht habe, ich komme nur selbst nicht drauf... wenn ich raten müsste würde ich sagen die Integrationsgrenzen sind falsch, aber wohin sonst und vorallem warum?
Ich habe jetzt schon einige Fourierreihen berechnet und die waren optisch deutlich schwerer, aber da gaben die Grenzen für mich immer Sinn.
Wäre dankbar für eine wenig bis viel Licht im Dunklen :)
Lieben Dank.
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> Sei f durch [mm]f(x)=x^2[/mm] auf [mm][0,2\pi)[/mm] definiert und sonst
> [mm]2\pi-periodisch[/mm] fortgesetzt.
> Rechnen sie die Fourierreihe der Funktion f aus.
> [mm]a_0=\integral_{0}^{2\pi}{x^2 dx}[/mm] = [mm]\frac{8\pi^2}{3}[/mm]
>
> [mm]a_n=\frac{1}{\pi}\integral_{0}^{2\pi}{x^2*cos(nx) dx}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{\pi}[\frac{2nx*cos(nx)+(n^2*x^2-2)*sin(n*x)}{n²}]_{0}^{2\pi}[/mm]
>
> [mm]=\frac{4\pi*n*cos(2\pi*n)+(4\pi^2*n^2-2)*sin(2\pi*n)}{\pi*n^3}[/mm]
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> Selbiges würde ich jetzt noch für [mm]b_n[/mm] machen aber ich bin
> mir ziemlich sicher, dass ich was falsch gemacht habe, ich
> komme nur selbst nicht drauf... wenn ich raten müsste
> würde ich sagen die Integrationsgrenzen sind falsch, aber
> wohin sonst und vorallem warum?
>
> Ich habe jetzt schon einige Fourierreihen berechnet und die
> waren optisch deutlich schwerer, aber da gaben die Grenzen
> für mich immer Sinn.
>
> Wäre dankbar für eine wenig bis viel Licht im Dunklen :)
Hallo,
ich hab' deine Integrale nicht nachgerechnet, aber Deine Grenzen sind goldrichtig:
es wird der "aufwärtsstrebende" Parabelzweig über [mm] [0,2\pi] [/mm] periodisch fortgesetzt.
Ich sag' Dir auch, was falsch wäre: [mm] a_n=\frac{1}{\pi}\integral_{-\pi}^{\pi}{x^2*cos(nx) dx} [/mm] ,
denn dann würde man die Fourierreihe der Funktion, die aus periodisch fortgesetzten "U"-Bogen besteht, berechnen.
Gruß v. Angela
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