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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mi 29.12.2010 | | Autor: | revpa |
| Aufgabe | f(x)= -x für [mm] -\pi [/mm] <= x < 0 und f(x) = x für 0 <= x < [mm] \pi.
[/mm]
Mit [mm] 2\pi [/mm] periodischer Fortsetzung. Ermitteln Sie die Fourier-Reihe F(x) |
Wenn ich mein Ergebnis plotten lasse sieht die Fourierreihe recht gut aus, aber ich habe eine falsche y-Achsen-Verschiebung und eine falsche Amplitude, die ich mit nicht erklären kann.
Mein Ansatz (jeweils Unterteilung in 2 Integrale):
[mm] a_{0}=1/\pi\*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x) dx}=\pi
[/mm]
[mm] a_{n}=1/\pi\*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)cos(x) dx} [/mm] = [mm] (2(-1)^{n})/(\pi\*n^{2})
[/mm]
[mm] b_{n}=0, [/mm] da f gerade
[mm] F(x)=\pi/2+\summe_{n=1}^{\infty}{(2(-1)^{n})/(\pi\*n^{2})\*cos(nx)}
[/mm]
Wo liegt mein Fehler?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo revpa,
die Funktion ist gerade und somit tauchen nur Cosinusterme auf. [mm] a_0 [/mm] ist richtig ausgerechnet, bei den [mm] a_n [/mm] treten aber nur Terme mit ungeradem n auf, diejenigen mit geradem n verschwinden. Hier dürfte Dein Fehler liegen.
Damit entsteht für die an ein Ausdruck der Form
[mm] - \bruch{4}{\pi} \cdot (cos x + \bruch{cos(3x)}{3^2} + \bruch{\cos(5x)}{5^2} + \bruch{\cos(7x)}{7^2} + \dots)\, [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Mi 29.12.2010 | | Autor: | revpa |
Hallo Infinit,
danke für deine Antwort, aber ich verstehe sie (noch) nicht. Dass die Funktion gerade ist habe ich erkannt und daraus geschlossen, dass [mm] b_{n} [/mm] = 0 gilt. Und für meinen Term [mm] a_{n}\*cos(nx), [/mm] der damit als einziger innerhalb des Summenzeichens übrigbleibt habe ich ja bereits eine Form in der Art, wie Du sie angegeben hast.
Für den Fall, dass ich eine andere Benennungskonvention verwende - ich bin davon ausgegangen, dass gilt:
[mm] F(x)=a_{0}/2+\summe_{n=1}^{\infty}{a_{n}cos(nx)+b_{n}sin(nx)}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo revpa,
genau das Gleiche ist es leider nicht, denn Deine Laufvariable geht über alle n und das stimmt nunmal nicht. Auf die Art und weise bekommst Du auch Cosinusterme mit geradem Argument und entsprechendem Vorfaktor, genau diese existieren ja aber nicht.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:45 Mi 29.12.2010 | | Autor: | revpa |
Hallo Infinit,
ich habe mir gerade meine Integration für [mm] a_{n} [/mm] nochmals genauer angesehen, ob ich mich da nicht doch irgendwo vertan haben könnte und ich habe den Fehler gefunden, der zum alternierenden Vorzeichen geführt hat - ein [mm] 1/n^{2} [/mm] hat jeweils gefehlt. Die korrekte Fourierreihe ist damit:
[mm] F(x)=\pi/2+\summe_{n=1}^{\infty}{(2((-1)^{n}-1))/(\pi\*n^{2})\*cos(nx)}
[/mm]
Vielen Dank dir!
Viele Grüße,
revpa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:48 Mi 29.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Prima, jetzt haben wir einen Vorfaktor von Null für die geraden Kosinusterme, so wie es sein soll.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Mi 29.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Mitteilung war doch, dass du $ [mm] a_{n}=1/\pi*\integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)cos(x) dx} [/mm] $ = $ [mm] (2(-1)^{n})/(\pi*n^{2}) [/mm] $ falsch berechnet hast. für n gerade kommt 0 raus! wie kommst du denn auf deinen Ausdruck setz mal n=2 und n=4 ein.
gruss leduart
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