Fourierreihen auf Lp-Räumen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo Zusammen!
Ich beschäftige mich gerade mit der Fourierreihenentwicklung [mm] 2\pi-periodischer [/mm] Funktionen.
Nun weiss ich bereits, dass für [mm] p\in (1,\infty) [/mm] die Fourierreihe einer Funktion [mm] f\in L^{p}(-\pi,\pi) [/mm] im Sinne der [mm] L^{p}-Norm [/mm] gegen die Funktion f selbst konvergiert.
Nun stellt sich mir aber die Frage, warum in den vielen Büchern lediglich der Fall p=2 behandelt wird?
Folgende Vermutungen habe ich dazu bereits aufstellen können:
- In physikalischen Kontexten interessieren uns nur Signale / Funktionen mit endlicher Energie, wobei diese Funktionen genau diejenigen aus [mm] L^{2} [/mm] sind.
- Bzgl. des [mm] L^{2} [/mm] Skalarproduktes sind die komplexen trigonometrischen Monome [mm] \phi_{k}(x)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{ikx}, k\in\IZ [/mm] eine Orthonormalbasis des [mm] L^{2}. [/mm] Dies ist insofern nützlich, da man ja [mm] f\in L^{2} [/mm] als Linearkombination dieser Monome darstellen will bzw. das Ziel der Fourierreihenentwicklung es ja ist, eine Funktion als Summe von Sinus- und Kosinustermen darzustellen.
- Da die [mm] L^{p} [/mm] -Räume ineinander eingebettet werden können und [mm] L^{p} \subset L^{2} [/mm] für [mm] p\in[3,\infty) [/mm] gilt, reicht es aus, den [mm] L^{2} [/mm] zu betrachten und Funktionen [mm] g\in L^{p} [/mm] als [mm] L^{2}-Funktionen [/mm] aufzufassen? (Bei dem Ansatz fehlt mir leider noch Einiges an theoretischem Hintergrund :( )
Gibt es aber noch "tiefgreifendere" Gründe, sich bei der Fourierreihenentwicklung lediglich auf [mm] L^{2} [/mm] zu beschränken oder "reicht" eine meiner Vermutungen schon aus?
Danke schon mal im Voraus für Anregungen und Hinweise.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Di 25.04.2017 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
