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| Aufgabe | Berechnen sie die Fourierreihe von der [mm] 2\Pi [/mm] periodischen, ungeraden Funktion f(x) mit [mm] f(x)=x^2 [/mm] für [mm] x\in [0,\Pi) [/mm] und [mm] f(\pi)=0. [/mm] Was läßt sich über das Konvergenzverhalten sagen?
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Moin Moin Interessierte.
Ich habe bald Klausur. Es wäre super wenn sich jemand die Sache mal durchliest und schaut, ob das soweit nachvollziehbar ist. Klar die ein oder andere Sache muß man genauer machen. (re. und li. Grenzwert, Monotonie, sowie Stetigkeit)
Also erstmal hab ich ne Frage zur Funktion selbst.
Im Intervall [mm] [0,\pi) [/mm] ist es ja ein Normalparabelast. Bei [mm] \Pi [/mm] selbst ist der Funktionswert ja 0 und [mm] (\pi, 2\pi) [/mm] ist nichts. Diese [mm] 2\pi-Intervalle [/mm] werden ja jetzt nebeneinander angeordnet, um die periodische Funktion zu zeichnen.
Oder? Warum ist die Funktion ungerade? Punktsymmetrie zum Ursprung liegt doch nicht vor. (Oder wollten die nur sagen, dass die Funktion nicht gerade ist?)
O.k., nach der Dirichletschen Bedingung ist ja [mm] [0,\pi) [/mm] sicher stetig und monoton. Hmm, und da der Sprung endlich ist, geht das auch in Ordnung und die beiden Grenzwerte existieren ja auch mit [mm] lim_{x->\pi}(f(x))={\pi}^2 [/mm] und [mm] lim_{\pi<-x}(f(x))=0, [/mm] oder?
Gut damit klappt ja die Fourierreihenanwendung und ich kann die Koeff. bestimmen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Mo 27.08.2007 | | Autor: | pleaselook |
Gut ich mach mal weiter...
Also fange ich mit [mm] a_0 [/mm] an.
[mm] a_0=\bruch{1}{\pi}\integral_{0}^{2\Pi}{f(x) dx}=\limes_{u->\pi}([\bruch{1}{3}x^3+c]_0^u)=\limes_{u->\pi}(\bruch{u^3}{3\pi})=\bruch{\pi^2}{3}
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo!
Das ist echt eine recht merkwürdige Aufgabe, die du da hast.
Die Funktion ist so nicht symmetrisch, und daher weder grade noch ungrade. Von daher würde ich fast behaupten, da fehlt irgendwas. Vielleicht sollst f(x)=-x² für [mm] $x\in(-\pi [/mm] ; 0] $ sein? Dann wäre das ungrade, aber so?
Nunja, dein [mm] a_0 [/mm] ist jedenfalls korrekt, bei den weiteren käme dann der COS-Term hinein.
Wenn du die b's berechnest, wirst du feststellen, daß die eben NICHT verschwinden
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o.k. ich geh auch davon aus, dass mit der Aufgabe was nicht stimmt. Da steht eindeutig [mm] f(x)=x^2 [/mm] und dass sie ungerade ist.
Danke trotzdem nochmal. Ist nur relativ xxx in ner Klausursituation.
War den meine Argumentation zu Dirichet in Bezug auf das Konvergenzverhalten der Reihe o.k.?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Mo 27.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> o.k. ich geh auch davon aus, dass mit der Aufgabe was nicht
> stimmt. Da steht eindeutig [mm]f(x)=x^2[/mm] und dass sie ungerade
> ist.
Nein, da steht, dass sie ungerade und im halboffenen Intervall [mm][0,\pi)[/mm] durch [mm]f(x)=x^2[/mm] gegeben ist. Also ist sie im halboffenen Intervall [mm](-\pi,0][/mm] durch [mm]f(x)=-x^2[/mm] gegeben.
Mit der Bedingung der [mm]2\pi[/mm]-Periodizität ist die Funktion im halboffenen Interval [mm][\pi,2\pi)[/mm] durch [mm]-(x-2\pi)^2[/mm] gegeben.
Etwas merkwürdig formuliert, die Aufgabe, aber eindeutig.
Grüße,
Rainer
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aso. also definiert das ungerade in dem Fall vielmehr wie die funktion aussieht. D.h. [mm] [0,\Pi) f(x)=x^2; (\Pi,0] f(x)=-x^2. [/mm] Ud das wird dann [mm] 2\pi-periodich [/mm] fortgesetzt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Di 28.08.2007 | | Autor: | Walty |
ja, genau,
"ungerade" ist eine gegebene Eigenschaft Deiner Funktion. "Isso!"
Das musst Du so hinnehmen und entsprechend intepretieren! - Schon mancher ist in einer Klausur über so einen kleinen Überleser/braintwist gestolpert
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