www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Fréchet-differenzierbar?
Fréchet-differenzierbar? < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fréchet-differenzierbar?: Tipp, Hilfestellung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Mo 07.07.2008
Autor: Leipziger

Aufgabe
4. a) Prüfen Sie direkt mit Hilfe der Defnition, ob die Funktion
f(x; y) = [mm] x^{2}y [/mm] für [mm] (x_{0}; y_{0}) \in \IR^{2} [/mm] (Fréchet)-differenzierbar ist und geben Sie ggf. die F-Ableitung [mm] f_{0}(x_{0}; y_{0}) [/mm] und den ”Rest” [mm] r\vektor{h \\ k} [/mm]  an.
Beachte: L = [mm] f_{0}(x_{0}; y_{0}) [/mm] ist eine lineare Abbildung von [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm]


http://www.math.uni-leipzig.de/~schumann/an/anaII.pdf
Seite 27 bzw. 28 ist die Definition sowie ein Beispiel gegeben. Leider kann ich damit gar nichts anfangen, weil ich einfach nicht versteh, was in dem beispiel gemacht wird. Ich habe das mit dem hier mal einfach genauso gemacht um da am Ende bei mir der Rest genauso aussieht, komme ich natürlich eig aufs gleiche nur statt [mm] x_{0} [/mm] habe ich halt [mm] x_{0}^{2}. [/mm]

Nun wollte ich erstmal wissen ob das stimmt, und desweiteren obs mir jemand verständlich erklären kann.

Mfg Leipziger

        
Bezug
Fréchet-differenzierbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Mo 07.07.2008
Autor: Al-Chwarizmi

hallo Leipziger,

ich finde, dass die Definition und das Beispiel im "Schumann"
sehr klar dargestellt sind. Nun ginge es also darum, das nur
ganz leicht abgeänderte Beispiel analog durchzunehmen.
Beginnen würde das so:

          [mm]f(x_o+h,y_o+k) =(x_o+h)^2*(y_o+k)=(x_o^2+2x_oh+h^2)(y_o+k)[/mm]  

          [mm]=x_o^2y_o+kx_o^2+2hx_oy_o+2hkx_o+h^2y_o+h^2k[/mm]

          [mm]= f(x_o,y_o)+(2x_oy_o,x_o^2)*\vektor{h\\k}+r(h,k)[/mm]

          mit  [mm]\ r(h,k)=2hkx_o+h^2y_o+h^2k[/mm]

Und nun bleibt zu beweisen, dass [mm] \limes_{h^2+k^2\to 0}{\bruch{|r(h,k)|}{\wurzel{h^2+k^2}}}=0 [/mm] ist.

LG






Bezug
                
Bezug
Fréchet-differenzierbar?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Mo 07.07.2008
Autor: Leipziger

Ja das habe ich auch so gemacht, wollte nur wissen, ob das auch der richtige Weg war. Trotzdem versteh ich eigentlich die Vorgehensweise nicht, ich kann das zwar genauso ausführen, aber verstanden habe ich es nicht!

Bezug
                        
Bezug
Fréchet-differenzierbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:56 Mo 07.07.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Ja das habe ich auch so gemacht, wollte nur wissen, ob das
> auch der richtige Weg war.

    oh, dann habe ich dich vorher nicht ganz verstanden - sorry !

> Trotzdem versteh ich eigentlich
> die Vorgehensweise nicht, ich kann das zwar genauso
> ausführen, aber verstanden habe ich es nicht!

   es ist eigentlich ganz analog wie im eindimensionalen Fall
   einer Funktion  [mm] f:\IR \mapsto \IR [/mm]  :  um die Ableitung an der
   Stelle  [mm] x_0 [/mm] zu berechnen, schreibt man die Funktion so auf:

         [m]\ f(x)=f(x_0+h)=f(x_0)+m*h+nichtlinearer\ Rest(h) [/m]

   [mm] m=f'(x_0) [/mm] ist die Tangentensteigung,  [mm] y=f(x_0)+f'(x_0)*h =y_0+m*(x-x_0) [/mm] oder y=m*x+b
  
   ist die Gleichung der Tangente.
   Die nichtlinearen Anteile beschreiben die Abweichung der Kurve von
   der Tangente.
   Damit eine solche überhaupt existiert, ist die Bedingung zu erfüllen:

          [mm] \limes_{h\to 0}\bruch{|Rest(h)|}{|h|}=0 [/mm]

   Im Fall einer Funktion   [mm] f:\IR^2 \mapsto \IR [/mm]  spielt sich das ganze
   einfach in einer Dimension höher ab: Anstatt einer Tangente
   haben wir eine Tangentialebene

            T:    [mm] z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)*h+f_y(x_0,y_0)*k [/mm] = A*x+B*y+C

   und ein Restglied, das von [mm] h=x-x_0 [/mm] und [mm] k=y-y_0 [/mm] abhängig ist. Wieder
   muss dieses Restglied für kleine Werte von |h| und |k| genügend
   klein bleiben, nämlich eben

          [mm] \limes_{b\to 0}\bruch{|Rest(h,k)|}{b}=0 [/mm]      wenn b der Betrag des Vektors [mm] \vektor{h\\k} [/mm] ist,

   damit eine Tangentialebene existiert.


LG
  

Bezug
                                
Bezug
Fréchet-differenzierbar?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:16 Mo 07.07.2008
Autor: Leipziger

Danke für diese ausführliche Erklärung :) Ich denke jetzt versteh ich auch, was ich eigentlich gemacht habe *grins*

Haste vllt noch eine Idee für?
Sei X = R und Q [mm] \subset [/mm] X die Menge der rationalen Zahlen. Was sind
[mm] Q^{o}; \partial Q;\overline{Q} [/mm] ?

Das heißt ich muss die Menge der inneren - und Randpunkte, sowie wie die der abgeschlossenen rationalen Zahlen aufschreiben, richtig? Wie mach ich das denn am sinnvollsten bzw. haste ne gute Definition für die jeweilige Menge?

Mfg Leipziger

Bezug
                                
Bezug
Fréchet-differenzierbar?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:17 Mo 07.07.2008
Autor: Leipziger

Aufgabe

Haste vllt noch eine Idee für?
Sei X = R und Q [mm] \subset [/mm] X die Menge der rationalen Zahlen. Was sind
[mm] Q^{o}; \partial Q;\overline{Q} [/mm] ?

Danke für diese ausführliche Erklärung :) Ich denke jetzt versteh ich auch, was ich eigentlich gemacht habe *grins*

Haste vllt noch eine Idee für die Aufgabe?

Das heißt ich muss die Menge der inneren - und Randpunkte, sowie wie die der abgeschlossenen rationalen Zahlen aufschreiben, richtig? Wie mach ich das denn am sinnvollsten bzw. haste ne gute Definition für die jeweilige Menge?

Mfg Leipziger

Bezug
                                        
Bezug
Fréchet-differenzierbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:25 Mo 07.07.2008
Autor: Al-Chwarizmi

Na, das ist schon ein ganz anderes Thema. Schau einmal da nach:

http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Topologie:_Inneres,_Abschluss,_Rand

und da:

http://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de