Fréchet - Differenzierbarkeit < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Sa 12.02.2011 | | Autor: | martinii |
Hallo Leute,
habe folgendes Problem:
f: [mm] U\to\IR [/mm] und [mm] U:=\IR^2\ \{{\vektor{0\\0}}}
[/mm]
[mm] f(x,y):=(x^2+y^2)*sin(1/\wurzel{x^2+y^2})
[/mm]
zz: f ist Fréchet-differenzierbar auf [mm] \IR^2
[/mm]
Gezeigt haben wir schon, dass ...
...f stetig fortsetzbar auf [mm] \IR^2 [/mm] ist mit f(0,0):=0
... [mm] D_{1} f(0,0)=0=D_{2} [/mm] f(0,0)
...f [mm] \in C^1(U) [/mm] und f [mm] \not\in C^1(\IR^2)
[/mm]
soweit so gut. Damit hatte ich auch keine Probleme.
jetzt soll gezeigt werden, das f Fréchet diffbar ist.
wir hatten mal aufgeschrieben, das Folgendes gilt:
stetig partiell diffbar --> Fréchet - diffbar.
wie kann jetzt aber f auf [mm] \IR^2 [/mm] Fréchet - diffabr sein, wenn dort die erste partiellen Ableitung gar nicht stetig sind?
Vielen Dank schon mal 
Lg
Martina
|
|
| |
|
Hallo martinii,
> Hallo Leute,
> habe folgendes Problem:
>
> f: [mm]U\to\IR[/mm] und [mm]U:=\IR^2\ \{{\vektor{0\\0}}}[/mm]
>
> [mm]f(x,y):=(x^2+y^2)*sin(1/\wurzel{x^2+y^2})[/mm]
>
> zz: f ist Fréchet-differenzierbar auf [mm]\IR^2[/mm]
>
> Gezeigt haben wir schon, dass ...
> ...f stetig fortsetzbar auf [mm]\IR^2[/mm] ist mit f(0,0):=0
> ... [mm]D_{1} f(0,0)=0=D_{2}[/mm] f(0,0)
> ...f [mm]\in C^1(U)[/mm] und f [mm]\not\in C^1(\IR^2)[/mm]
>
> soweit so gut. Damit hatte ich auch keine Probleme.
>
> jetzt soll gezeigt werden, das f Fréchet diffbar ist.
> wir hatten mal aufgeschrieben, das Folgendes gilt:
> stetig partiell diffbar --> Fréchet - diffbar.
>
> wie kann jetzt aber f auf [mm]\IR^2[/mm] Fréchet - diffabr sein,
> wenn dort die erste partiellen Ableitung gar nicht stetig
> sind?
Aus der Fréchet-Differenzierbarkeit von f folgt nicht
die stetige partielle Differenzierbarkeit von f.
> Vielen Dank schon mal
>
> Lg
> Martina
Gruss
MathePower
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Sa 12.02.2011 | | Autor: | martinii |
Danke schon mal für deine Antwort.
Leider komm ich dadurch nicht so richtig weiter.
Angenommen ich wüsste nicht, das f auf [mm] \IR^2 [/mm] Fréchet - diffbar ist.
Dann würde ich doch daraus schließen, dass es nicht stetig partiell diffbar ist (auf [mm] \IR^2), [/mm] das es nicht Fréchet-diffbar ist.
Ich weiß grad nicht wo mein Denkfehler liegt.
LG
Martina
|
|
|
| |
|
Hallo martinii,
> Danke schon mal für deine Antwort.
> Leider komm ich dadurch nicht so richtig weiter.
>
> Angenommen ich wüsste nicht, das f auf [mm]\IR^2[/mm] Fréchet -
> diffbar ist.
> Dann würde ich doch daraus schließen, dass es nicht
> stetig partiell diffbar ist (auf [mm]\IR^2),[/mm] das es nicht
> Fréchet-diffbar ist.
Das ist richtig.
> Ich weiß grad nicht wo mein Denkfehler liegt.
Der Denkfehler liegt darin, daß Du von der Fréchet-Differnzierbarkeit
nicht auf die stetige partielle Differenzierbarkeit schliessen kannst.
Hier hast Du von der der Folgerung "Fréchet-Differenzierbarkeit"
auf die Voraussetzung "stetige partielle Differenzierbarkeit" geschlossen.
>
> LG
> Martina
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Sa 12.02.2011 | | Autor: | martinii |
Dankeschööön
LG
|
|
|
|
