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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 26.09.2004 | | Autor: | Suinatas |
Hallo @all
ich bin neu hier und habe gleich eine Frage!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann.
Ich soll mit Hilfe der Obersumme folgendes Integral bestimmen: [mm] \integral_{0}^{b} {f(x^2+2x) dx}. [/mm] Allerdings haben wir noch nicht bewiesen, dass man das Integral in seine Summanden zerlegen kann. Meine Frage ist jetzt, wie ich auch ohne diese Zerlegung und ohne Stammfunktion dieses Integral bestimmen kann!
Vielen Dank für etwaige Antworten
Suinatas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 So 26.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Suinatas!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich bin neu hier und habe gleich eine Frage!
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
> Ich habe hier eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann.
Das sind doch mal Fakten! 
> Ich soll mit Hilfe der Obersumme folgendes Integral bestimmen: $ [mm] \integral_{0}^{b} {f(x^2+2x) dx}. [/mm] $ Allerdings haben wir noch nicht bewiesen, dass man das Integral in seine Summanden zerlegen kann. Meine Frage ist jetzt, wie ich auch ohne diese Zerlegung und ohne Stammfunktion dieses Integral bestimmen kann!
Da du das Ganze über die Obersumme berechnen sollst, würde ich mich von der Integralschreibweise lösen und eben diese Obersumme auszudrücken zu versuchen. Dabei wird sich zeigen, dass du das Integral in zwei Teilintegrale der Funktionen [mm] $x^2$ [/mm] und [mm] $2\cdot [/mm] x$ aufteilen kannst.
Ich weiß nicht, wie weit dir das Summenzeichen [mm] $\summe$ [/mm] geläufig ist, daher werde ich erstmal ein paar Rechnungen ohne dieses durchführen:
Wir wollen nun das Intervall $[0;b]$ in 5 gleich große Teile zerschneiden und dann die Obersumme berechnen. Da du das wahrscheinlich schon kennst, lasse ich vorerst die Erklärungen weg (falls es Probleme gibt, dann frag einfach und ich gehe auf dies und das näher ein - hab' keine Hemmungen ):
$A= [mm] \frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot 1\right)+\frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot 2\right)+\frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot 3\right)+\frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot 4\right)+\frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot 5\right)=\frac{5}{b}\cdot \left(f\left(\frac{b}{5}\cdot 1\right)+f\left(\frac{b}{5}\cdot 2\right)+f\left(\frac{b}{5}\cdot 3\right)+f\left(\frac{b}{5}\cdot 4\right)+f\left(\frac{b}{5}\cdot 5\right)\right)$
[/mm]
Dies können wir mit dem Summenzeichen einfacher als:
[mm] $\summe_{i=1}^{5}{\frac{b}{5}\cdot f\left(\frac{b}{5}\cdot i\right)}$
[/mm]
schreiben. Hier die Erläuterung: Durch das Summenzeichen [mm] $\summe$ [/mm] kannst du Summen einfacher schreiben. Du wählst eine Zählervariable, in diesem Falle $i$ und definierst eine Unter- und eine Obergrenze (hier ist die Untergrenze die $1$, wegen $i=1$ unterhalb des [mm] $\summe$, [/mm] die Obergrenze ist $5$). Dieses $i$ darfst du nun rechts vom Summenzeichen verwenden. Der Ausdruck bedeutet dann nichts anderes als der, der entstehen würde, würde ich den Teil rechts vom Summenzeichen für jedes $i$ von 1 bis 5 aufschreiben und sie aufsummieren. Klar? Ist immer blöd zu erklären, dieses Summenzeichen
So, weiter im Programm:
Natürlich haben wir mit fünf Rechtecken nur eine sehr grobe Näherung des korrekten Integrals. Wir setzen statt $5$ nun $n$ ein und lassen $n$ gegen unendlich laufen, um auszudrücken, dass wir die Fläche unterhalb der Kurve in unendliche viele, infinitesimal kleine Rechtecke zerschneiden. Dann sieht die Summe wie folgt aus:
[mm] $A=\limes_{n\to\infty}\summe_{i=1}^{n}{\frac{b}{n}\cdot f\left(\frac{b}{n}\cdot i\right)}=\limes_{n\to\infty}\frac{b}{n}\cdot\summe_{i=1}^{n}{f\left(\frac{b}{n}\cdot i\right)}$
[/mm]
Und jetzt kommt das Entscheidende: Für diesen Ausdruck wurde jetzt einfach [mm] $\integral_{0}^{b}{f(x)\cdot dx}$ [/mm] geschrieben - es ist nur eine andere Schreibweise. Merke dir das, es kann dir nützlich sein.
Damit wäre die allgemein Formel für die Obersumme hergeleitet.
Nun wenden wir die Formel auf unser Problem an, mit [mm] $f(x)=x^2+2x$. [/mm] Es ergibt sich:
[mm] $A=\integral_{0}^{b}{(x^2+2x)\cdot dx}=\limes_{n\to\infty}\frac{b}{n}\cdot\summe_{i=1}^{n}{f\left(\frac{b}{n}\cdot i\right)}=\limes_{n\to\infty}\frac{b}{n}\cdot\summe_{i=1}^{n}{\left(\frac{b}{n}\cdot i\right)^2+2\left(\frac{b}{n}\cdot i\right)}$
[/mm]
Dies formen wir jetzt ein wenig um:
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^2}{n^2}\cdot\summe_{i=1}^{n}{\frac{b}{n}\cdot i^2+2\cdot i}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^2}{n^2}\cdot\left(\frac{b}{n}\cdot\summe_{i=1}^{n}{\left(i^2\right)}+2\cdot\summe_{i=1}^{n}{\left(i\right)}\right)$
[/mm]
Wegen der Summenformeln
[mm] $\summe_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ [/mm]
und
[mm] $\summe_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
folgt:
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^2}{n^2}\cdot\left(\frac{b}{n}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\cdot\frac{n(n+1)}{2}\right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^2}{n^2}\cdot\left(\frac{b}{n}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n(n+1)\right)$
[/mm]
Nun multiplizieren wir aus:
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^2}{n^2}\cdot\left(\frac{b}{n}\cdot\frac{\overbrace{2n^3+3n^2+n}^{n(n+1)(2n+1)}}{6}+\overbrace{n^2+n}^{n(n+1)}\right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^3}{6}\cdot\left(\frac{2n^3+3n^2+n}{n^3}\right)+b^2\cdot\left(\frac{n^2+n}{n^2}\right)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^3}{6}\cdot\left(\frac{2n^3}{n^3}+\frac{3n^2}{n^3}+\frac{n}{n^3}\right)+b^2\cdot\left(\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}\right)$
[/mm]
So, wegen [mm] $\limes_{n\to\infty}$ [/mm] konvergieren die Brüche [mm] $\frac{3n^2}{n^3}$, $\frac{n}{n^3}$ [/mm] und [mm] $\frac{n}{n^2}$ [/mm] gegen Null, d.h. sie fallen weg und es bleibt übrig:
[mm] $=\limes_{n\to\infty}\frac{b^3}{6}\cdot\frac{2n^3}{n^3}+b^2\cdot\frac{n^2}{n^2}$
[/mm]
[mm] $=\frac{b^3}{3}+b^2$
[/mm]
Damit ist die Lösung:
[mm] $\integral_{0}^{b}{(x^2+2\cdot x)\cdot dx}=\frac{b^3}{3}+b^2$.
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen. Wenn du noch fragen hast oder ich mich an zich Stellen verschrieben habe, dann sag das, und ich werde es klar stellen!
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 So 26.09.2004 | | Autor: | Suinatas |
Hey
erstmal ein riesen Danke an dich. So schön hättest du es gar nicht erklären brauchen, aber super nett, dass du es trotzdem getan hast! Ich hatte auch schon die Idee, dass ganze zu unterteilen aber ich bin dummerweise nicht auf die Sache mit der [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] Schreibweise gekommen.
Echt Klasse!!
Suinatas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 So 26.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo ihr beiden,
> [mm]\integral_{0}^{b} {f(x^2+2x) dx}.[/mm]
Gemeint war vermutlich:
[mm]\integral_{0}^{b} {(x^2+2x) dx}.[/mm],
denn eine Funktion $f$ wurde gar nicht angegeben.
Noch "vermutlicher" () war einfach nur die Funktion $f(x)=x²+2x$ gegeben und damit sollte das Integral:
[mm]\integral_{0}^{b} {f(x) dx}[/mm] (bzw. [mm]\integral_{0}^{b} {(x^2+2x) dx})[/mm] berechnet werden.
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Suinatas |
Hey
genau darum ging es :) sry für den Fehler meinerseits aber mein Problem wurde ja verstanden ;)
bye
Suinatas
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