Frage zu Abstand Gerade Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 Mo 06.07.2015 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | Geben Sie einen Punkt auf der Ebene E an, der von der Geraden den Abstand 2 hat!
Ebene E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{2 \\ 0 \\ 4} [/mm] + a [mm] \pmat{2 \\ 3 \\ -1} [/mm] + b [mm] \pmat{1 \\ 3 \\ -2}
[/mm]
Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + t [mm] \pmat{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] |
Guten Abend zusammen!
Ich sitze gerade an einer Aufgabe zum Abstand Gerade / Ebene fest und mir fehlt komplett der Ansatz, wie ich diese berechnen kann. Muss ich dies mit der Hesse'schen Normalenform berechnen oder eine Hilfsgerade durch E und g erstellen?
Über eure Ratschläge würde ich mich freuen!
Viele Grüße,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Mo 06.07.2015 | | Autor: | X3nion |
Edit:
Ist die Aufgabe mit folgendem Ansatz lösbar? Dieser ist mir gerade eingefallen, scheint mir aber ein wenig umständlich.
Man nehme die Hesse'sche Normalenform mit einem allgemeinen Punkt auf der Geraden und einem Punkt auf der Ebene und setze den Wert auf 2, den gesuchten Abstand. Dann bekommt man den Punkt G auf g, welcher den Abstand 2 von der Ebene hat.
Nun erzeugt man eine Hilfsgerade h mit dem Normalenvektor von E als Richtungsvektor und dem Stützpunkt G. Diese Gerade h schneidet man mit der Ebene und bekommt einen Schnittpunkt [mm] S_{e} [/mm] heraus, welches der gesuchte Punkt sein sollte.
Ist dies so korrekt? Und gibt es evtl. eine einfachere Möglichkeit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:09 Di 07.07.2015 | | Autor: | reverend |
Hallo X3nion,
> Ist die Aufgabe mit folgendem Ansatz lösbar? Dieser ist
> mir gerade eingefallen, scheint mir aber ein wenig
> umständlich.
> Man nehme die Hesse'sche Normalenform mit einem
> allgemeinen Punkt auf der Geraden und einem Punkt auf der
> Ebene und setze den Wert auf 2, den gesuchten Abstand. Dann
> bekommt man den Punkt G auf g, welcher den Abstand 2 von
> der Ebene hat.
> Nun erzeugt man eine Hilfsgerade h mit dem Normalenvektor
> von E als Richtungsvektor und dem Stützpunkt G. Diese
> Gerade h schneidet man mit der Ebene und bekommt einen
> Schnittpunkt [mm]S_{e}[/mm] heraus, welches der gesuchte Punkt sein
> sollte.
>
> Ist dies so korrekt? Und gibt es evtl. eine einfachere
> Möglichkeit?
Dieser Ansatz funktioniert nur in Spezialfällen, also normalerweise nicht.
Ich schreib mal eine umfassendere Antwort zur ursprünglichen Frage.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Di 07.07.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Da sich die Gerade und die Ebene schneiden, solltest du zuerst den Schnittpunkt S dieser beiden berechnen.
Danach erstelle eine Kugel mit dem Mittelpunkt S und dem Radius 2.
Jeder Punkt auf dem Schnittkreis zwischen der Kugel und der Ebene erfüllt die Bedingung.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Di 07.07.2015 | | Autor: | reverend |
edit: diese Mitteilung auf die erste Fassung von Marius' Antwort hat sich im weiteren Gang der Diskussion bzw. der Versionsgeschichte erledigt.
Hm.
Nee, doch noch nicht. Ich versuch doch mal eine eigene Antwort, vielleicht wirds dann klarer.
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:12 Di 07.07.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo reverend
Ich habe es gerade auf den Schnittkreis einer Kugel mit dem Radius 2 und der Ebene abgeäandert, danke fürs drüberschauen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 Di 07.07.2015 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Ich habe es gerade auf den Schnittkreis einer Kugel mit dem
> Radius 2 und der Ebene abgeäandert, danke fürs
> drüberschauen.
Jo, das geht wunderbar (m.E. einfachster Ansatz) - sofern die Gerade die Ebene schneidet.
Sorry, da habe ich mich vertan. Das geht doch nicht. Am deutlichsten vorstellbar, warum das nicht klappt, wird das bei einer Geraden, die die Ebene sehr flach schneidet.
Allerdings gibt es auch Lösungen, wenn die Gerade die Ebene nicht schneidet, aber in einem Abstand [mm] \le{2} [/mm] verläuft...
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Di 07.07.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo reverend
> Hallo nochmal,
>
> > Ich habe es gerade auf den Schnittkreis einer Kugel mit dem
> > Radius 2 und der Ebene abgeäandert, danke fürs
> > drüberschauen.
>
> Jo, das geht wunderbar (m.E. einfachster Ansatz) - sofern
> die Gerade die Ebene schneidet.
Das tut sie hier ja, wie man schnell am Skalarprodukt des Richtungsvektor der Geraden mit den Spannvektoren der Ebene überprüfen kann.
>
> Allerdings gibt es auch Lösungen, wenn die Gerade die
> Ebene nicht schneidet, aber in einem Abstand [mm]\le{2}[/mm]
> verläuft...
Klar, aber den Fall hast du hier nicht.
>
> Grüße
> rev
>
Marius
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Hallo X3nion,
die Aufgabe hat es vor allem dadurch in sich, dass man genau lesen muss...
> Geben Sie einen Punkt auf der Ebene E an, der von der
> Geraden den Abstand 2 hat!
Also wohlgemerkt nicht etwa einen Punkt auf der Geraden, der von der Ebene E den Abstand 2 hat. Das ist nicht das gleiche!
Schließen wir mal den Fall aus, dass die Gerade die Ebene nicht schneidet und einen größeren Abstand als 2 von der Ebene hat. Dann gibt es auf beide o.g. Fragestellungen keine Antwort/Lösung.
Wäre ein Punkt auf der Geraden gesucht, der von der Ebene den Abstand 2 hat, so gäbe es nur zwei Fälle:
1) Die Gerade schneidet die Ebene. Dann gibt es zwei Punkte auf der Geraden, die die Bedingung erfüllen.
2) Die Gerade verläuft im Abstand 2 zur Ebene. Dann erfüllt jeder Punkt auf der Geraden die Bedingung.
Das ist aber nicht gefragt.
Generell liegen alle Punkte, die von der Geraden den Abstand 2 haben, auf einem unendlich langen Zylinder mit Radius 2 um die Gerade, die zugleich die Mittelachse des Zylinders ist.
Dann gibt es (außer dem schon ausgeschlossenen) noch drei Fälle:
1) Die Gerade hat den Abstand 2 zur Ebene. Alle Punkte der Ebene, die die Bedingung erfüllen, liegen ebenfalls auf einer Geraden, die man erhält, wenn man die Gerade g lotrecht auf die Ebene projiziert (bzw. eben dahin um 2 Einheiten verschiebt).
2) Die Gerade hat einen Abstand <2 von der Ebene. Dann gibt es zwei Geraden auf der Ebene, auf denen jeweils alle Punkte den Abstand 2 von der Geraden haben.
3) Die Gerade schneidet die Ebene. Dann liegen alle Punkte der Ebene, die den gesuchten Abstand zur Geraden haben, auf einer Ellipse um den Schnittpunkt von Ebene und Gerade. Steht die Gerade senkrecht auf der Ebene, ist diese Ellipse ein Kreis.
Nun ist ja aber gar nicht gefragt, alle Punkte zu finden, die die Bedingung erfüllen, sondern nur einen.
> Ebene E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{2 \\ 0 \\ 4}[/mm] + a [mm]\pmat{2 \\ 3 \\ -1}[/mm]
> + b [mm]\pmat{1 \\ 3 \\ -2}[/mm]
> Gerade g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> + t [mm]\pmat{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> Guten Abend zusammen!
>
> Ich sitze gerade an einer Aufgabe zum Abstand Gerade /
> Ebene fest und mir fehlt komplett der Ansatz, wie ich diese
> berechnen kann. Muss ich dies mit der Hesse'schen
> Normalenform berechnen oder eine Hilfsgerade durch E und g
> erstellen?
Einfachster Weg ist wohl, einen allgemeinen Punkt auf der Ebene anzunehmen und von dort das Lot auf die Gerade zu fällen und die Länge zwischen Ebenenpunkt und Lotpunkt auf der Geraden zu ermitteln. Dabei dürftest Du zwei Parameter haben.
Dann kannst Du einfach einen davon so festsetzen, dass die Rechnung bequem wird und erhältst den zweiten. Fertig.
Wie Marius schon zu Recht feststellt, liegt hier der Fall vor, dass die Gerade die Ebene schneidet.
Grüße
reverend
> Über eure Ratschläge würde ich mich freuen!
>
> Viele Grüße,
> Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:35 Do 09.07.2015 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
manchmal sieht man ja das Offensichtliche nicht...
Zwei der gesuchten Punkte sind sehr leicht zu bestimmen: gehe vom Schnittpunkt von Gerade und Ebene zwei Einheiten in eine Richtung, die senkrecht auf der Geraden und senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene liegt.
Das ist ohne Getöse zu berechnen, wenn die Gerade (wie hier) nicht parallel zur Ebene liegt.
Grüße
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 Mo 20.07.2015 | | Autor: | X3nion |
Einen schönen guten Morgen zusammen!
Ich bin nicht vom Erdboden verschluckt, jedoch hatte ich einiges an Stress mit den Prüfungen an der Hochschule und kann mich dem Problem nur jetzt widmen :)
Vorerst einmal danke ich euch sehr für die zahlreichen Antworten, es ist wirklich interessant was man alles anstellen kann, gerade mit den Zylindern! Und ihr habt alle zum Verständnis meinerseits für die Aufgabe sehr gut beigetragen.
Mir ist nun mein Denkfehler aufgefallen: Meine Variante misst zwar 2 LE von einem Punkt auf der Ebene und der Geraden, allerdings geht das Lot von der Ebene aus und nicht von der Geraden!
Die letzte Variante von dir, reverend, klingt sehr simpel. Erzeige ich einen Vektor, der senkrecht zum Normalenvektor und gleichzeitig senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden steht, so erreiche ich ja die 2 Bedingungen: Einerseits fälle ich immer das Lot auf die Gerade, andererseits liegen alle Punkte des Vektors auf der Ebene, da dieser orthogonal zum Normalenvektor ist.
Diesen vom Schnittpunkt aus auf die Länge 2 setzen liefert die Lösung :)
Vielen Dank!
Liebe Grüße,
Christian
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