Frage zu Bereichsintegral-bsp < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | BSP: Der Graph der Funktion f(x,y) = [mm] \wurzel{1-x²-y²} [/mm] ist eine Halbkugel mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1 (genauer gesagt: der über die (x,y)-Ebene liegende Teil der Einheitskugel). Um das Volumen der Einheitskugel zu berechnen, müssen wir diese Funktion über den Einheitskreis integrieren. Der Bereich hat also die Form B = {(x,y) [mm] \in \IR² [/mm] | -1 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1, [mm] -\wurzel{1-y²} \le [/mm] x [mm] \le \wurzel{1-y²} [/mm] }. Das Volumen V der Einheitskugel erfüllt demnach
[mm] \bruch{V}{2} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1} \integral_{-\wurzel{1-y²}}^{\wurzel{1-y²}}{\wurzel{1-x²-y²} dx dy}
[/mm]
Wir substituieren im inneren INtegral x = [mm] \wurzel{1-y²}sin(t) [/mm] und erhalten dx = [mm] \wurzel{1-y²}cos(t) [/mm] sowie
[mm] \bruch{V}{2} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{1}{1-y²) \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}}{cos²(t) dt dy}
[/mm]
= [mm] \bruch{2\pi}{3} [/mm] |
hallo liebes matheforum,
das mathebsp ist zwar schon komplett ausgerechnet, aber ich kapiers trotzdem nicht und wäre echt froh, wenn mir jmd helfen könnte: ich verstehe nicht, wieso man x einfach nur durch x = sqrt(1-y²)*sint (von wo kommt das sint???) ersetzen kann und wieso das dann alles so kommt wie es kommt .... könnte mir jmd schritt für schritt erklären, wieso das alles so ist und wie man dann schlussendlich zum ergebnis kommt?
also bereichsintegrale im allgemeinen sinne versteh ich schon, aber halt jetzt nur explizit dieses bsp nicht :( ...
aufjedenfall danke schon im voraus.
lg
martin
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Hallo Matheanfaenger,
> hallo liebes matheforum,
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> das mathebsp ist zwar schon komplett ausgerechnet, aber ich
> kapiers trotzdem nicht und wäre echt froh, wenn mir jmd
> helfen könnte: ich verstehe nicht, wieso man x einfach nur
> durch x = sqrt(1-y²)*sint (von wo kommt das sint???)
> ersetzen kann und wieso das dann alles so kommt wie es
> kommt .... könnte mir jmd schritt für schritt erklären,
> wieso das alles so ist und wie man dann schlussendlich zum
> ergebnis kommt?
> also bereichsintegrale im allgemeinen sinne versteh ich
> schon, aber halt jetzt nur explizit dieses bsp nicht :(
> ...
Wir haben also das folgende Doppelintegral zu berechnen:
[mm]\bruch{V}{2}[/mm] = [mm]\integral_{-1}^{1} \integral_{-\wurzel{1-y²}}^{\wurzel{1-y²}}{\wurzel{1-x²-y²} dx \ dy}[/mm]
Da man daran interessiert den Integranden so einfach wie möglich zu machen, wählt man hier eine Substitution, die den Wurzelausdruck verschwinden läßt.
Eine geeignete Substitution ist [mm]x=\wurzel{1-y^{2}}*\sin\left(t\right)[/mm], da diese auf ein leicht zu lösendes Integral führt.
Diese durchläuft alle Werte von [mm]-\wurzel{1-y^{2}}*\sin\left(t\right)[/mm] bis [mm]+\wurzel{1-y^{2}}*\sin\left(t\right)[/mm], da [mm]-1 \le \sin\left(t\right) \le 1[/mm].
Durch diese Substitution wird [mm]dx=\wurzel{1-y^{2}}*\cos\left(t\right) dt[/mm].
Die neuen Integrationsgrenzen sind somit:
[mm]-\wurzel{1-y^{2}}*\sin\left(t\right)=\wurzel{1-y^{2}}*\sin\left(t\right) \Rightarrow t=-\bruch{\pi}{2}[/mm]
und
[mm]+\wurzel{1-y^{2}}*\sin\left(t\right)=\wurzel{1-y^{2}}*\sin\left(t\right) \Rightarrow t=\bruch{\pi}{2}[/mm]
Daher gilt:
[mm]\bruch{V}{2}[/mm] = [mm]\integral_{-1}^{1} \integral_{-\wurzel{1-y²}}^{\wurzel{1-y²}}{\wurzel{1-x²-y²} dx \ dy}[/mm]
[mm]\integral_{-1}^{1} \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1-y^{2}-\left(1-y^{2}\right)*\sin^{2}\left(t\right)} \ \wurzel{1-y^{2}}*\cos\left(t\right) dt \ dy}[/mm]
[mm]=\integral_{-1}^{1} \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1-y^{2}}*\wurzel{1-\sin^{2}\left(t\right)}} \ \wurzel{1-y^{2}}*\cos\left(t\right) dt \ dy}[/mm]
[mm]=\integral_{-1}^{1} \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\wurzel{1-y^{2}}*\cos\left(t\right) }} \ \wurzel{1-y^{2}}*\cos\left(t\right) dt \ dy}[/mm]
[mm]=\integral_{-1}^{1} \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\left(1-y^{2}\right)*\cos^{2}\left(t\right) }} \ dt \ dy}[/mm]
[mm]=\integral_{-1}^{+1}{1-y^{2} dy} * \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{+\bruch{\pi}{2}}{\cos^{2}\left(t\right) dt}[/mm]
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> aufjedenfall danke schon im voraus.
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> lg
> martin
Gruß
MathePower
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