Frage zu Cauchy Produkt Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:34 So 20.11.2016 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend zusammen!
Ich habe wieder mal eine Frage zu einem Beweis.
Dieses Mal geht es um den Beweis des Cauchy-Produkts bei Reihen.
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Der Satz lautet in der Literatur (Analysis 1, Forster) wie folgt:
Es seinen [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] absolut konvergente Reihen. Für n [mm] \in \IN [/mm] definiert man
[mm] c_n [/mm] := [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k} [/mm] = [mm] a_0b_n [/mm] + [mm] a_{1}b_{n-1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}b_0.
[/mm]
Dann ist auch die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_n [/mm] absolut konvergent mit
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} c_n [/mm] = [mm] (\summe_{n=0}^{\infty} a_n)*(\summe_{n=0}^{\infty} b_n).
[/mm]
Beweis:
Die Definition des Koeffizienten [mm] c_n [/mm] kann auch wie folgt geschrieben werden:
[mm] c_n [/mm] = [mm] \summe\{a_{k}b_{l}: k + l = n\}.
[/mm]
Es wird dabei über alle Indexpaare (k,l) summiert, die in [mm] \IN \times \IN [/mm] auf der Diagonalen k + l = n liegen. Deshalb gilt für die Partialsumme
[mm] C_N [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{N} c_n [/mm] = [mm] \summe\{a_{k}b_{l}: (k,l) \in \Delta_{N} \},
[/mm]
wobei [mm] \Delta_N [/mm] das wie folgt definierte Dreieck in [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] ist:
[mm] \Delta_N [/mm] := [mm] \{(k,l) \in \IN \times \IN : k + l \le N \}, [/mm] siehe hier angefügte Skizze.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Multipliziert man die Partialsummen
[mm] A_N [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{N} a_n [/mm] und [mm] B_N [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{N} b_n
[/mm]
aus, erhält man als Produkt
[mm] A_{N}B_{N} [/mm] = [mm] \summe\{a_{k}b_{l}: (k,l) \in Q_N\},
[/mm]
wobei [mm] Q_N [/mm] das Quadrat
[mm] Q_N [/mm] := [mm] \{(k,l) \in \IN \times \IN: 0 \le k \le N, 0 \le l \le N\}
[/mm]
bezeichnet. Da [mm] \Delta_N \subset Q_N, [/mm] kann man schreiben
[mm] A_{N}B_{N} [/mm] - [mm] C_N [/mm] = [mm] \summe\{a_{k}b_{l} : (k,l) \in Q_N \backslash \Delta_N\}.
[/mm]
Für die Partialsummen
[mm] A^{\*}_{N} [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{N} |a_n|, B^{\*}_{N} [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{N} |b_n|
[/mm]
erhält man wie oben
[mm] A^{\*}_{N}B^{\*}_{N} [/mm] = [mm] \summe\{|a_{k}||b_{l}|: (k,l) \in Q_N\}.
[/mm]
Da [mm] Q_{\lfloor N/2 \rfloor} \subset \Delta_N, [/mm] folgt [mm] Q_N \backslash \Delta_N \subset Q_N \backslash Q_{\lfloor N/2 \rfloor}, [/mm] also
[mm] |A_{N}B_{N} [/mm] - [mm] C_{N}| \le \summe\{|a_{k}||b_{l}| : (k,l) \in Q_N \backslash Q_{\lfloor N/2 \rfloor}\} [/mm] = [mm] A^{\*}_{N}B^{\*}_{N} [/mm] - [mm] A^{\*}_{\lfloor N/2 \rfloor}B^{\*}_{\lfloor N/2 \rfloor}
[/mm]
Da die Folge [mm] (A^{\*}_{N}B^{\*}_{N}) [/mm] konvergiert, also eine Cauchy-Folge ist, strebt die letzte Differenz für N -> [mm] \rightarrow \infty [/mm] gegen , d.h.
[mm] \limes_{N\rightarrow\infty} C_N [/mm] = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} A_{N}B_{N} [/mm] = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} A_{N} \limes_{N\rightarrow\infty} B_{N}.
[/mm]
Damit ist gezeigt, dass [mm] \summe c_n [/mm] konvergiert und die im Satz behauptete Formel über das Cauchy-Produkt gilt. Es ist noch die absolute Konvergenz von [mm] \summe c_n [/mm] zu beweisen. Wegen
[mm] |c_n| \le \summe_{k=0}^{n} |a_{k}||b_{n-k}|
[/mm]
ergibt sich dies durch Anwendung des bisher Bewiesenen auf die Reihen [mm] \summe |a_n| [/mm] und [mm] \summe |b_n|.
[/mm]
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Nun habe ich ein paar Fragen zu dem Beweis, wann und warum man die Absolutbeträge der jeweiligen Beträge nutzt.
Den allerletzten Schritt im Beweis, dass [mm] \summe c_n [/mm] absolut konvergiert, würde ich im nächsten Beitrag stellen, sobald mir der Beweisteil bis dahin klar ist.
1) Wieso nutzt man [mm] A^{\*}_{N} [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{N} |a_n| [/mm] und [mm] B^{\*}_{N} [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{N} |b_n|
[/mm]
für den Beweis?
2) Wäre wegen [mm] Q_N \backslash \Delta_N \subset Q_N \backslash Q_{\lfloor N/2 \rfloor} [/mm] nicht auch
[mm] A_{N}B_{N} [/mm] - [mm] C_N [/mm] = [mm] \summe\{a_{k}b_{l} : (k,l) \in Q_N \backslash \Delta_N\} [/mm]
[mm] \le \summe\{a_{k}b_{l} : (k,l) \in Q_N \backslash Q_{\lfloor N/2 \rfloor}} [/mm] = [mm] A_{N}B_{N} [/mm] - [mm] A_{\lfloor N/2 \rfloor}B_{\lfloor N/2 \rfloor} [/mm] ?
3) Würde dann nicht auch die Folge [mm] (A_{N}B_{N}) [/mm] konvergieren, die letzte Differenz somit gegen 0 für N [mm] \rightarrow \infty [/mm] gehen und man würde somit die Behauptung erhalten?
4) Wieso strebt [mm] A^{\*}_{N}B^{\*}_{N} [/mm] - [mm] A^{\*}_{\lfloor N/2 \rfloor}B^{\*}_{\lfloor N/2 \rfloor} [/mm] gegen 0? Ist es so dass, weil [mm] (A^{\*}_{N}B^{\*}_{N}) [/mm] eine Cauchy-Folge ist, man zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] N_{\epsilon} [/mm] findet, sodass für alle n,m [mm] \ge N_{\epsilon} [/mm] gilt: [mm] |A^{\*}_{N}B^{\*}_{N} [/mm] - [mm] |A^{\*}_{M}B^{\*}_{M}| [/mm] < [mm] \epsilon, [/mm] wobei [mm] N_{\epsilon} [/mm] so hoch gewählt werden müsste, dass N und N/2 [mm] \ge N_{\epsilon} [/mm] ?
Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar! 
VG X3nion
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 22.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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