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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Do 03.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Ist eine beschränkte Folge konvergent?
Beschränkt bedeutet, dass sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Dabei kann die Folge gegen einen Grenzwert konvergieren, wenn ein [mm] \varepsilon [/mm] beliebig klein gewählt werden kann (z.B. ist [mm] a_n=1/n [/mm] nach oben und unten beschränkt und konvergiert gegen 0 -> Nullfolge). Jedoch ist nicht jede beschränkte Folge konvergent, z.B. ist die alternierende Folge zwar beschränkt durch -1 und 1, aber nicht konvergent, da hier ein [mm] \varepsilon [/mm] nicht beliebig klein gewählt werden kann, da der Abstand zweier Folgeglieder stets gleich 2 ist und somit [mm] \varepsilon [/mm] nicht beliebig klein gewählt werden kann.
-> Ist diese Antwort richtig?
Ist jede Nullfolge konvergent?
Ja, jede Nullfolge ist konvergent, da sie gemäß Definition stets gegen den Grenzwert null konvergiert?
-> Ist diese Antwort richtig?
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Deine Schlüsse sind richtig, die Sache mit dem [mm]\varepsilon[/mm] hast du aber noch nicht vollständig begriffen. Es geht nicht darum, ob [mm]\varepsilon[/mm] beliebig klein gemacht werden kann, sondern darum, daß zu jedem (beliebig klein gewählten) [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]n_0[/mm] gefunden werden kann, so daß ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Do 03.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Vielen Dank für die Antwort. Das mit dem [mm] N_0 [/mm] ist mir schon klar.. 
Eine Frage zu geometrischen Folgen: Wie kann ich bestimmen, ob [mm] (a_n) [/mm] = (2n²+1) / (n²+3) eine geometrische Folge ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Do 03.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Eine geometrische Folge zeichnet sich ja dadurch aus, dass der Quotient
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$
[/mm]
konstant (unabhängig von $n$) ist.
Ist das hier der Fall? Wohl kaum...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Do 03.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Will heißen, dass ich den Quotient zweier Folgeglieder bilden muss und überprüfen muss, ob sich eine Abhängigkeit von n ergibt?
Wie bestimme ich dann, ob [mm] (c_n) [/mm] = 1/n (2 + [mm] (-1)^n [/mm] + 4n) eine geometrische Folge ist? Dort kann ich ja nicht so einfach dividieren..
Wie zeige ich, ob diese Folge beschränkt ist bzw. konvergiert? Grenzwert erraten und dann gemäß Definition der Konvergenz [mm] N(\varepsilon) [/mm] bestimmen?
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Meine Fragen beziehen sich auf folgende Aufgabe: Geben Sie für jede der hier angegebenen Folgen an, ob es sich um eine geometrische Folge handelt, ob diese beschränkt ist und ob diese konvergiert. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Häufungspunkte bzw. Grenzwerte und machen Sie eine Aussage zur Monotonie.
(Es folgen sechs verschiedene Folgen.)
Wie ist diese Aufgabe zu verstehen? Einfach eine Tabelle machen und die Kriterien mit ja bzw. nein beantworten oder alles explizit ausrechnen?
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Die Folge [mm] (3n^3+1) [/mm] / [mm] (3n^2-1) [/mm] * [mm] (-1)^n [/mm] strebt bei n gegen unendlich gegen [mm] n*(-1)^n [/mm] - konvergiert sie bzw. hat sie damit einen Grenzwert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 Do 03.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
wenn du gar nicht weißt, ob die folge geometrisch ist, überprüfe, ob sie quotientengleich ist. also setze z.b. für n=1 ein und dann n=2 und bilde daraus den quotienten. dann kannst du das auch noch mit n=3 und n=4 machen.
oder du nutzt die rekursive zuordnungsvorschrift:
[mm] a_{k+1}=a_{k}*q, [/mm] stelle nach q um und nimm zwei aufeinanderfolgende glieder deiner folge und setze sie ein. wenn du q ausgerechnet hast, überprüfst du am besten noch mittels zwei anderer aufeinanderfolgender glieder.
lg Franzie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Do 03.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Ich habe nochmals eine Frage: Wie genau zeige ich, dass [mm] lim(a_n [/mm] - [mm] b_n) [/mm] = [mm] lim(a_n) [/mm] - [mm] lim(b_n) [/mm] gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Do 03.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hi! auch das ist kein problem. du musst dir erstmal bewusst werden, was du zeigen willst, nämlich, dass für alle epsilon größer 0 ein n element natürl. zahlen existiert , für das gilt:
| [mm] a_{n}-b_{n}-(a-b) [/mm] | < epsilon
lg Franzie
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