Frage zu Homöomorphismus < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Es ist z.z dass f: [0,1] [mm] \to S^1 [/mm] mit [mm] S^1 [/mm] als Einheitskreisscheibe keinen Homöomorphismus darstellt.
Zunächst habe ich allgemein gezeigt. Falls f : X [mm] \to [/mm] Y ein Homöomorphismus ist so ist auch die Einschränkung f: [mm] X\{xo} \to Y\{f(xo)} [/mm] ein Homöomorphismus. Dann folgt doch mit der Negation der Implikation Falls die Einschränkung kein Homöomorphismus ist, dann ist auch f kein Homöomorphismus. Somit kann gezeigt werden, dass wenn eine einschränkende Abbildung der Abbildung f: [0,1] [mm] \to S^1 [/mm] gefunden werden kein, die keinen Homöomorphismus
darstellt, dass auch f kein Homöomorphismus ist. Falls man die Abbildung f auf den Punkt 0 einschränkt d.h man betrachte f/{0} : X/{0} [mm] \to [/mm] Y/{f(0)} Dann gilt doch dass diese Abbildung nicht surjektiv ist folglich nicht bijektiv und somit kein Homöomorphismus. Bin gespannt was ihr zu meint.
Gruß
tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Fr 11.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Es ist z.z dass f: [0,1] [mm]\to S^1[/mm] mit [mm]S^1[/mm] als
> Einheitskreisscheibe keinen Homöomorphismus darstellt.
Beliebiges f?
> Zunächst habe ich allgemein gezeigt. Falls f : X [mm]\to[/mm] Y ein
> Homöomorphismus ist so ist auch die Einschränkung f:
> [mm]X\{xo} \to Y\{f(xo)}[/mm] ein Homöomorphismus.
Ja.
> Falls man
> die Abbildung f auf den Punkt 0 einschränkt d.h man
> betrachte f/{0} : X/{0} [mm]\to[/mm] Y/{f(0)} Dann gilt doch dass
> diese Abbildung nicht surjektiv ist
Nein, das Bild von 0 ist auch fort!
SEcki
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Danke für deine Antwort.
Ok. Hab ich das richtig verstanden. Generell muss aber irgendein Punkt im Intervall [0,1] gefunden werden, sodass f eingeschränkt auf diesen Punkt also f/{x0}:X/{x0} [mm] \to [/mm] Y/f{x0} nicht mehr stetig oder bijektiv ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Sa 12.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Generell muss aber
> irgendein Punkt im Intervall [0,1] gefunden werden, sodass
> f eingeschränkt auf diesen Punkt also f/{x0}:X/{x0} [mm]\to[/mm]
> Y/f{x0} nicht mehr stetig oder bijektiv ist?
Nein, das wird nicht gelingen unter der Annahme, dass f ein Homöo ist. Obiges impliziert nur, dass deine neue Abart des f wieder ein Homöo ist. Du brauchst dann die Eigenschaften der Räume für einen Widerspruch.
SEcki
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