Frage zu Matrixaufgabe < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 2 & 1\\ 1 & -2 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 6 & 5}
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 2 \\ 4 \\ -2 } [/mm] |
Gegeben ist ein LGS Ax = b
Ich solle Rang(A), dim Bild(A), dim Kern (A) und Kern (A) bestimmen.
für diese Bestimmungen muss ich ja Ax = 0 setzen. Richtig?
Also :
A = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &0\\ 1 & -2 & 0 & -1 &| &0\\ 1 & -2 & 6 & 5 &| &0}
[/mm]
Und für die Lösungsgesamtheit von Ax = b muss ich das ganze in Zeilen Stufen form bringen und von unten nach oben Auflösen. Ist auch das richtig soweit?
Also
Ax B = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &2\\ 1 & -2 & 0 & -1 &| &4\\ 1 & -2 & 6 & 5 &| &-2}
[/mm]
Grüße,
Obi
|
|
| |
|
Hallo ObiWan,
> A = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 2 & 1\\
1 & -2 & 0 & -1 \\
1 & -2 & 6 & 5}[/mm]
>
> B = [mm]\pmat{ 2 \\
4 \\
-2 }[/mm]
> Gegeben ist ein LGS Ax = b
>
> Ich solle Rang(A), dim Bild(A), dim Kern (A) und Kern (A)
> bestimmen.
> für diese Bestimmungen muss ich ja Ax = 0 setzen.
> Richtig?
Jo, für die Berechnungen von Rang(A), dim (Bild(A)) und Kern(A) betrachtest du "nur" die Matrix A, zur Bestimmung der Lösungsgseamtheit der Gleichung $Ax=b$ dann die erweiterte Matrix [mm] $A\mid [/mm] b$
Du kannst aber auch zunächst die Lösungsgesamtheit des zugeh. homogenen LGS bestimmen und dann eine spezielle Lösung des inhomogenen, die Gesamtlösung ist dann "Lösungsgesamtheit(homogen)+spezielle Lösung(inh.)"
>
> Also :
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &0\\
1 & -2 & 0 & -1 &| &0\\
1 & -2 & 6 & 5 &| &0}[/mm]
>
> Und für die Lösungsgesamtheit von Ax = b muss ich das
> ganze
Wenn du mit "das Ganze" die unten stehende Matrix [mm] $A\mis [/mm] b$ meinst, dann ja
> in Zeilen Stufen form bringen und von unten nach oben
> Auflösen. Ist auch das richtig soweit?
>
> Also
> Ax B = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &2\\
1 & -2 & 0 & -1 &| &4\\
1 & -2 & 6 & 5 &| &-2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Grüße,
> Obi
>
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ich habe jetzt einfahc mal gerechnet. So wie ich es bei Matritzen gewohnt bin.
A|b = $ [mm] \pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &2\\ 1 & -2 & 0 & -1 &| &4\\ 1 & -2 & 6 & 5 &| &-2} [/mm] $
Durch Gauss komme ich auf
$ [mm] \pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &2\\ 0 & 0 & -2 & 0 &| &2\\ 0 & 0 & 4 & 4 &| &0} [/mm] $
Daraus folgt (laut meiner gerechneten Lösugn)
[mm] -2x_{3} [/mm] = 0
[mm] 4x_{3} [/mm] + [mm] 4x_{4} [/mm] = 0
... [mm] 4_x{4} [/mm] = 0
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] = 0 || [mm] x_{2} [/mm] = t
also [mm] x_{1} [/mm] = 2t
[mm] x_{2} [/mm] = t
[mm] x_{3} [/mm] = 0
[mm] x_{4} [/mm] = 0
Der Rang (A) ist 1
Kern = LH [mm] (\pmat{ 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Bild = LH [mm] (\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Sowie die Lösungsgesamtheit von Ax=b
[mm] x_{1} [/mm] = 2+2t
[mm] x_{2}= [/mm] t
[mm] x_{3} [/mm] = 1
[mm] x_{4} [/mm] = -1
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ich habe jetzt einfahc mal gerechnet. So wie ich es bei
> Matritzen gewohnt bin.
>
> A|b = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &2\\
1 & -2 & 0 & -1 &| &4\\
1 & -2 & 6 & 5 &| &-2}[/mm]
>
> Durch Gauss komme ich auf
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &2\\
0 & 0 & -2 & \blue{0 }&| &2\\
0 & 0 & 4 & 4 &| &\red{0}}[/mm]
Hier haben sich zwei kleine Fehler eingeschlichen, du rechnest ja Zeile3-Zeile1, also muss im allerletzten Eintrag auch [mm]\red{-2-2=}\red{-4}[/mm] stehen; ebenso bei Zeile2-Zeile1 im Eintrag [mm]a_{24}[/mm] statt [mm]\blue{0}[/mm] dann [mm]\blue{-1-1=-2}[/mm] ...
>
> Daraus folgt (laut meiner gerechneten Lösugn)
Das musst du dann wohl nochmal rechnen, du bekommst mit den richtigen Einträgen [mm]-4[/mm] dann eine Nullzeile ....
>
> [mm]-2x_{3}[/mm] = 0
> [mm]4x_{3}[/mm] + [mm]4x_{4}[/mm] = 0
> ... [mm]4_x{4}[/mm] = 0
>
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]2x_{2}[/mm] = 0 || [mm]x_{2}[/mm] = t
> also [mm]x_{1}[/mm] = 2t
> [mm]x_{2}[/mm] = t
> [mm]x_{3}[/mm] = 0
> [mm]x_{4}[/mm] = 0
>
> Der Rang (A) ist 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Kern = LH [mm](\pmat{ 2 \\
1 \\
0 \\
0 }[/mm]
Da fehlt ein Vektor! Der Kern(A) ist nicht eindimensional.
> Bild = LH [mm](\pmat{ 1 \\
1 \\
1}[/mm]
Auch das kann nicht sein, schaue dir mal den Dimensionssatz an!
>
> Sowie die Lösungsgesamtheit von Ax=b
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 2+2t
> [mm]x_{2}=[/mm] t
> [mm]x_{3}[/mm] = 1
> [mm]x_{4}[/mm] = -1
Nö, das passt leider auch nicht ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
$ [mm] \pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &2\\ 0 & 0 & -2 & -2 &| &2\\ 0 & 0 & 0 & 0 &| & 2} [/mm] $
Dann wäre
Für die Homogene Matrix
[mm] x_{4} [/mm] = t
[mm] x_{3} [/mm] = -t
[mm] x_{2} [/mm] = s
[mm] x_{1} [/mm] = 2s
Mir bleibt ja keine andere "wahl" außer 2 Variablen zu bestimmen, oder?
Demnach wäre der Rang 2 (Zahl der Zeilen ungleich 0 ist 2 - Zeile 1 und 2)
dim Bild(A) = rang (A)
also ist dim(Bild(A) = LH < [mm] \pmat{ 1 & -2 \\ 1 & -2 \\ 1 & -2} [/mm] >
und dim(Kern(A) = LH < [mm] \pmat{2 \\ 1 \\ -1 \\ 1}>
[/mm]
Das durch meinen Rechenfehler die Lösungsgesamtheit zerballert wurde is ja auch irgendwie klar.
[mm] x_4 [/mm] = t
[mm] x_2 [/mm] = s
[mm] x_3 [/mm] = 2 + 2t
[mm] x_1 [/mm] -2s +4 + 4t +t = 2
Und jetzt?!
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &2\\
0 & 0 & -2 & -2 &| &2\\
0 & 0 & 0 & 0 &| & 2}[/mm]
Im allerletzten Eintrag muss doch 0 stehen statt 2, sonst hättest du in der letzten Zeile $0=2$, also Humbuk
>
> Dann wäre
> Für die Homogene Matrix
Also mit rechter Seite überall 0!
>
> [mm]x_{4}[/mm] = t
> [mm]x_{3}[/mm] = -t
> [mm]x_{2}[/mm] = s
> [mm]x_{1}[/mm] = 2s
Das stimmt nicht, da steht doch in Zeile1: [mm] $x_1-2x_2+2x_3+x_4=0$, [/mm] also [mm] $x_1=..$
[/mm]
>
> Mir bleibt ja keine andere "wahl" außer 2 Variablen zu
> bestimmen, oder?
>
> Demnach wäre der Rang 2 (Zahl der Zeilen ungleich 0 ist 2
> - Zeile 1 und 2)
>
> dim Bild(A) = rang (A)
>
> also ist dim(Bild(A) = LH < [mm]\pmat{ 1 & -2 \\
1 & -2 \\
1 & -2}[/mm]
Wenn, dann Bild(A)= ...
Die Dimension ist eine Zahl und kein Raum!
Nein, die beiden Vektoren [mm] $\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] und [mm] $\vektor{-2\\-2\\-2}$ [/mm] sind doch offensichtlich linear abhängig (sind ja Vielfache voneinander)
Du musst aus $A$ zwei linear unabh. Spaltenvektoren rauspicken, die tun es als Basis für Bild(A)
> >
>
> und dim(Kern(A) = LH < [mm]\pmat{2 \\
1 \\
-1 \\
1}>[/mm]
Nein! Zahl [mm] $\neq$ [/mm] Raum!
Welche Dimension muss denn der Kern haben, wenn du schon weißt, dass das Bild dim 2 hat?
>
> Das durch meinen Rechenfehler die Lösungsgesamtheit
> zerballert wurde is ja auch irgendwie klar.
>
> [mm]x_4[/mm] = t
> [mm]x_2[/mm] = s
> [mm]x_3[/mm] = 2 + 2t
>
> [mm]x_1[/mm] -2s +4 + 4t +t = 2
Von welcher Matrix gehst du aus?
Schreibe erstmal die Matrix hin in ZSF, nach der du dies bestimmt hast.
>
> Und jetzt?!
>
>
Du schreibst sehr chaotisch auf, das ist kein großer Spaß, alles nachzurechnen ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Sorry wollt nich so Chaotisch sein. Also
$ [mm] \pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &2\\ 0 & 0 & -2 & -2 &| &2\\ 0 & 0 & 0 & 0 &| & 0} [/mm] $
Hab mich verrechnet. Bin schon den ganzen Tag am rechenn nimmt mich bissl mit.
$ [mm] x_{4} [/mm] $ = t
$ [mm] x_{3} [/mm] $ = -t
$ [mm] x_{2} [/mm] $ = s
$ [mm] x_{1} [/mm] $ = 2s+t
Bild(A) = LH < $ [mm] \pmat{ 2 & 1\\ 0 & -1 \\ 6 & 5}> [/mm] $
Kern(A) = LH < $ [mm] \pmat{3 \\ 1 \\ -1 \\ 1}> [/mm] $
dim(Bild(A) = rang(A) = 2
n = 4 (Anzahl Spalten)
dim(Kern(A)) + dim(Bild(A) = n
dim(Kern(A)) = n - dim(Bild(A)
dim(Kern(A)) = 2
IM letzten schritt bin ich wieder von
$ [mm] \pmat{ 1 & -2 & 2 & 1 & | &2\\ 0 & 0 & -2 & -2 &| &2\\ 0 & 0 & 0 & 0 &| & 0} [/mm] $
ausgegangen.
Dafür habe ich [mm] x_4 [/mm] = t bestimmt
[mm] -2x_3 [/mm] -2t = 2
[mm] \gdw x_3 [/mm] = -1-t
[mm] x_1 -2x_2 [/mm] -2-2t +t = 2
Dafür habe ich noch zusätzlich bestimmt [mm] x_2 [/mm] = s
[mm] x_1 [/mm] -2s -2-2t + t = 2
[mm] \gdw x_1 [/mm] = 4+2s+t
Das sollte dann ja die Lösungsgesamtheit darstellen oder?
Hoffe das ist jetzt übersichtlicher,
Grüße,
Obi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 20.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
