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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mi 20.02.2008 | | Autor: | semaJ |
| Aufgabe | Es sei [mm]M[/mm] eine nichtleere Menge und [mm]P(M)[/mm] die Potenzmenge von M. Ferner sei für [mm]A,B \in P(M)[/mm] die folgende Verknüpfung [mm]\*[/mm] definiert:
[mm]A \* B := (A \cap B) \cup (M \setminus (A \cup B)) [/mm]
(i) Berechnen Sie [mm]M \* A, A \* A, \emptyset \* A[/mm]
(ii) Zeigen Sie: [mm](P(M),\*)[/mm] ist eine abelsche Gruppe. Die Assoziativität von [mm]\*[/mm] darf dabei vorausgesetzt werden. |
Hallo,
die oben genannte Aufgabe stammt aus einer Altklausur und ich wollte die als Training machen. Irgendwie steh ich aber auf dem Schlauch.
Was ist denn mit "Berechnen Sie" gemeint?
Was ich mir bisher gedacht habe:
Ich weiß doch im Grunde nur das in der Potenzmenge von M die leere Menge garantiert enthalten ist oder? Ich weiß nich was in A, B oder M ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo semaJ und erst einmal ein herzliches ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Es sei [mm]M[/mm] eine nichtleere Menge und [mm]P(M)[/mm] die Potenzmenge von
> M. Ferner sei für [mm]A,B \in P(M)[/mm] die folgende Verknüpfung [mm]\*[/mm]
> definiert:
> [mm]A \* B := (A \cap B) \cup (M \setminus (A \cup B))[/mm]
> (i)
> Berechnen Sie [mm]M \* A, A \* A, \emptyset \* A[/mm]
> (ii) Zeigen Sie: [mm](P(M),\*)[/mm] ist eine abelsche Gruppe. Die
> Assoziativität von [mm]\*[/mm] darf dabei vorausgesetzt werden.
> Hallo,
>
> die oben genannte Aufgabe stammt aus einer Altklausur und
> ich wollte die als Training machen. Irgendwie steh ich aber
> auf dem Schlauch.
> Was ist denn mit "Berechnen Sie" gemeint?
>
> Was ich mir bisher gedacht habe:
> Ich weiß doch im Grunde nur das in der Potenzmenge von M
> die leere Menge garantiert enthalten ist oder?
Ja, die Potenzmenge von M enthält alle Teilmengen von M, also insbesondere [mm] $\emptyset$ [/mm] und $M$ selbst
> Ich weiß nich was in A, B oder M ist.
Das musst du auch gar nicht wissen, es genügt vollkommen, zu wissen, dass $A, [mm] B\in\mathcal{P}(M)$ [/mm] sind, also $A, [mm] B\subset [/mm] M$
Für die Berechnung in (i) benutze einfach die Defintion von [mm] "\star" [/mm] und rechne es geradeheraus aus
Ich mach's mal für die erste Teilaufgabe:
Zu berechnen ist [mm] $M\star [/mm] A$, wobei [mm] $A\subset [/mm] M$ ist
Also nach Def. [mm] "\star" [/mm] ist [mm] $M\star [/mm] A$ [mm] $=(M\cap A)\cup (M\setminus(M\cup [/mm] A))$
einfach nach Definition eingesetzt
Nun ist [mm] $M\cap [/mm] A=A$ wegen [mm] $A\subset [/mm] M$ und [mm] $M\cup [/mm] A=M$
Also ist [mm] $(M\cap A)\cup (M\setminus(M\cup A))=A\cup M\setminus M=A\cup\emptyset=A$
[/mm]
Die anderen gehen wirklich analog, benutze einfach die Defintion dieser Verknüpfung [mm] "\star"
[/mm]
Bei (ii) musst du stur die Gruppenaxiome nachweisen, wobei dir die Assoziativität von [mm] "\star" [/mm] geschenkt wurde 
Die Struktur ist [mm] $(\mathcal{P}(M),\star)$ [/mm] also die Potenzmenge von M mit der Verknüpfung [mm] $\star:\mathcal{P}(M)\times\mathcal{P}(M)\to\mathcal{P}(M)$, [/mm] definiert wie oben in der Aufgabenstellung
Zusätzlich musst du noch die Kommutativität zeigen, also dass für alle $A, [mm] B\in\mathcal{P}(M)$ [/mm] (also $A, [mm] B\subset [/mm] M$) gilt
[mm] $A\star B=B\star [/mm] A$
Hoffe, das hilft dir erst mal weiter, poste mal, wie weit du kommst
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Do 21.02.2008 | | Autor: | semaJ |
> Hallo semaJ und erst einmal ein herzliches ,
Hallo, und danke, danke auch für die schnelle Antwort :)
> Das musst du auch gar nicht wissen, es genügt vollkommen,
> zu wissen, dass [mm]A, B\in\mathcal{P}(M)[/mm] sind, also [mm]A, B\subset M[/mm]
Das erklärt so einiges, hätte mir auch eigentl. in den Sinn kommen müssen, aber naja...ich wieder, mach mir immer alles schwerer als es ist :P
Also mal sehen:
[mm]A\star A = (A\cap A)\cup (M\setminus(A\cup A))[/mm]
[mm]A\cap A = A[/mm]
[mm]A\cup A = A[/mm]
[mm]A\star A = A \cup M\setminus A = M[/mm]
und
[mm]\emptyset \star A = \emptyset \cup M\setminus A = M[/mm]
korrekt?
> Bei (ii) musst du stur die Gruppenaxiome nachweisen, wobei
> dir die Assoziativität von [mm]"\star"[/mm] geschenkt wurde
>
> Die Struktur ist [mm](\mathcal{P}(M),\star)[/mm] also die
> Potenzmenge von M mit der Verknüpfung
> [mm]\star:\mathcal{P}(M)\times\mathcal{P}(M)\to\mathcal{P}(M)[/mm],
> definiert wie oben in der Aufgabenstellung
>
> Zusätzlich musst du noch die Kommutativität zeigen, also
> dass für alle [mm]A, B\in\mathcal{P}(M)[/mm] (also [mm]A, B\subset M[/mm])
> gilt
>
> [mm]A\star B=B\star A[/mm]
>
>
> Hoffe, das hilft dir erst mal weiter, poste mal, wie weit
> du kommst
Werd mich nu ersma an die Gruppenaxiome setzen.
Wenn ich z.B. [mm](G1)[/mm] zeigen will, muss ich doch bloß [mm]A\star B[/mm] ausrechnen, oder?
Das is oben ja definiert, also wenn da wieder eine Menge rauskommt, die in der Potenzmenge ist, ist [mm](G1)[/mm] erfüllt?
gruß ;)
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> Also mal sehen:
> [mm]A\star A = (A\cap A)\cup (M\setminus(A\cup A))[/mm]
> [mm]A\cap A = A[/mm]
>
> [mm]A\cup A = A[/mm]
> [mm]A\star A = A \cup M\setminus A = M[/mm]
Hallo,
die Klammern sind hier wichtig:
es ist [mm] A\star [/mm] A = A [mm] \cup [/mm] ( [mm] M\setminus [/mm] A )= M
> und
> [mm]\emptyset \star A = \emptyset \cup M\setminus A = M[/mm]
[mm] \emptyset \star [/mm] A = [mm] \emptyset \cup (M\setminus [/mm] A )= ???
Was kommt heraus, wenn Du die leere menge mit irgendwas vereinigst?
> Werd mich nu ersma an die Gruppenaxiome setzen.
>
> Wenn ich z.B. [mm](G1)[/mm] zeigen will, muss ich doch bloß [mm]A\star B[/mm]
> ausrechnen, oder?
> Das is oben ja definiert, also wenn da wieder eine Menge
> rauskommt, die in der Potenzmenge ist, ist [mm](G1)[/mm] erfüllt?
Wenn man bloß wüßte, was Du mit (G!) meinst?
Falls das die Abgeschlossenheit bzgl [mm] \* [/mm] ist, plantst Du das Richtige.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Do 21.02.2008 | | Autor: | semaJ |
Hallo Angela,
ja mit G1 meine ich Abgeschlossenheit :)
Achso, nochmal zu G3 (neutrales element) und G4 (inverses element)
G3:
[mm]\exists e \in P(M) \ \forall x \in P(M):e \* x = x[/mm]
Sei [mm]B = \emptyset[/mm]
[mm]A \* \emptyset = M[/mm] (laut vorschrift)
also kein neutrales element? oder doch weil:
[mm]M \subseteq M[/mm]
G4:
[mm]\forall x \in P(M) \ \exists x' \in P(M): x' \* x = e[/mm]
gilt ja dann auch nicht, wenn es kein neutrales element gibt, oder?
und wenn doch wie prüf ich das?
Wow, ich hoffe das ganze wird mir nochmal richtig klar :)
gruß
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> Achso, nochmal zu G3 (neutrales element) und G4 (inverses
> element)
>
> G3:
> [mm]\exists e \in P(M) \ \forall x \in P(M):e \* x = x[/mm]
Brandheißer Tip:
schau mal, ob möglicherweise M das neutrale Element ist.
Gruß v. Angela
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