Frage zu Substitutionsregel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Leader |
| Aufgabe | | Bestimme das unbestimmte Integral [mm] \integral{ (sin x)^3 dx}. [/mm] |
Hallo,
ich bin mir noch etwas unsicher, wie man die Subsitutionsregel bei der Bestimmung eines Integrals richtig verwendet und würde gern mal ein Beispiel vorrechnen:
1. Ich "substituiere" eine der beiden Teilfunktionen von (sin [mm] x)^3. [/mm] Ich würde hierbei sagen, dass sich dafür (sin x) anbietet.
Also sei (sin x) jetzt mit z substituiert.
2. Es entsteht folgende Gleichung:
[mm] \integral{ z^3 * \bruch{dz}{z'} }
[/mm]
3. Ich kümmere mich nun zunächst um [mm] \bruch{dz}{z'}
[/mm]
Das macht dann also [mm] \bruch{dz}{cos (x)}
[/mm]
4. Ich erhalte jetzt die Formel
[mm] \integral{ z^3 * \bruch{1}{cos (x)} dz }
[/mm]
5. Den Bruch kann ich jetzt vor das Integral schreiben, macht:
[mm] \bruch{1}{cos (x)} \integral{ z^3 dz } [/mm]
6. Jetzt bilde ich noch die Stammfunktion von [mm] z^3, [/mm] das ist also [mm] \bruch{1}{4} z^4.
[/mm]
Mein Ergebnis wäre demnach: [mm] \bruch{1}{cos (x)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} z^4 [/mm] = [mm] \bruch{1}{cos (x)} [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} [/mm] (sin [mm] x)^4
[/mm]
Meine Fragen wäre hierbei:
1. Ist diese Vorgehensweise richtig?
2. Stimmt das Ergebnis?
3. Ist die Substitutionsregel allgemein für alle verkettete Funktionen anwendbar, d. h., kann die Stammfunktion von jeder integrierbaren verkettete Funktion nach diesem Schema ermittelt werden?
Vielen Dank im Voraus! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Zaed |
Hallo Leader,
das ist so nicht ganz richtig! Du begehst einen fundamentalen Fehler, und zwar gleich zu Beginn deiner Rechnung:
> Bestimme das unbestimmte Integral [mm]\integral{ (sin x)^3 dx}.[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bin mir noch etwas unsicher, wie man die
> Subsitutionsregel bei der Bestimmung eines Integrals
> richtig verwendet und würde gern mal ein Beispiel
> vorrechnen:
>
>
> 1. Ich "substituiere" eine der beiden Teilfunktionen von
> (sin [mm]x)^3.[/mm] Ich würde hierbei sagen, dass sich dafür (sin x)
> anbietet.
>
> Also sei (sin x) jetzt mit z substituiert.
>
>
> 2. Es entsteht folgende Gleichung:
>
> [mm]\integral{ z^3 * \bruch{dz}{z'} }[/mm]
>
>
Also ich verstehe zwar wie du auf diesen Term kommst, aber das ist so nicht ganz richtig :D
du sagst folgendes: [mm] dz/dx = cos(x) \gdw dz = cos(x)dx [/mm]
Das kannst du jetzt aber nicht einfach so einsetzen... Dann hast du ja immernoch dein x drinnen, aber gerade das wollen wir doch nicht mehr haben :D
> 3. Ich kümmere mich nun zunächst um [mm]\bruch{dz}{z'}[/mm]
>
> Das macht dann also [mm]\bruch{dz}{cos (x)}[/mm]
>
>
> 4. Ich erhalte jetzt die Formel
>
> [mm]\integral{ z^3 * \bruch{1}{cos (x)} dz }[/mm]
>
>
dann ist das natürlich falsch
> 5. Den Bruch kann ich jetzt vor das Integral schreiben,
> macht:
>
> [mm]\bruch{1}{cos (x)} \integral{ z^3 dz }[/mm]
>
Genau deshalb darfst du sowas nicht tun  (wie oben beschrieben)
>
> 6. Jetzt bilde ich noch die Stammfunktion von [mm]z^3,[/mm] das ist
> also [mm]\bruch{1}{4} z^4.[/mm]
>
Die Stammfunktion ist durch deinen Fehler nun leider nicht mehr richtig...
>
> Mein Ergebnis wäre demnach: [mm]\bruch{1}{cos (x)}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{4} z^4[/mm] = [mm]\bruch{1}{cos (x)}[/mm] * [mm]\bruch{1}{4}[/mm] (sin
> [mm]x)^4[/mm]
>
>
> Meine Fragen wäre hierbei:
> 1. Ist diese Vorgehensweise richtig?
> 2. Stimmt das Ergebnis?
> 3. Ist die Substitutionsregel allgemein für alle
> verkettete Funktionen anwendbar, d. h., kann die
> Stammfunktion von jeder integrierbaren verkettete Funktion
> nach diesem Schema ermittelt werden?
>
>
> Vielen Dank im Voraus! :)
Nun gebe ich dir mal einen Lösungvorschlag an, an dem du vielleicht das Schema erkennst:
[mm] \integral_{}^{}{sin(x)^3 dx} = \integral_{}^{}{sin(x)^2*sin(x) dx} = \integral_{}^{}{(1-cos(x)^2)*sin(x) dx} = -\integral_{}^{}{(1-cos(x)^2*(-sin(x)) dx} [/mm]
Nun substituieren wir z = cos(x)
du wirst gleich sehen, wieso wir gerade den Cosinus ersetzen
es gilt dann: [mm] dz/dx = -sin(x) \gdw dz = -sin(x)dx [/mm]
Du siehst unser dz kommt oben in der Gleichung vor, also können wir doch für den Ausdruck -sin(x)dx einfach dz einsetzen
wir erhalten: [mm] \integral_{}^{}{(1-z^2)dz } [/mm]
Dieses Integral lösen wir:
[mm] \integral_{}^{}{(1-z^2)dz } = z - \bruch{1}{3}*z^3 [/mm]
Nun noch zurücksubstituieren: z = cos(x)
[mm] cos(x) - \bruch{1}{3}*cos(x)^3 = cos(x)*(1 - \bruch{1}{3}*cos(x)^2) [/mm]
Das ist nun deine Stammfunktion.
Bemerkung: Ich habe die Substitution z = cos(x) verwendet. Das ist eine Methode... du kannst aber genauso gut x durch irgendeine Funktion ersetzen, dann dein dx ermitteln und das ersetzen :D Das bietet sich in diesem Beispiel aber nicht an, macht es nur unnötig kompliziert...
Aufgabe: Berechne bitte mal die Stammfunktion von [mm] \bruch{sin(x)}{cos(x)^2}
[/mm]
ich hoffe, du erkennst einige Analogien
mfG Zaed
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Leader |
Hallo Zaed, vielen Dank für deine umfassende Antwort.
Also dann will ich mich mal an der Aufgabe [mm] \integral{ \bruch{sin(x)}{cos(x)^2} dx} [/mm] probieren.
Im Zähler zieh ich das Minus heraus, was dann den Vorteil hat, dass dz/dx = -sin(x) <=> dz = -sin(x) gilt:
= - [mm] \integral \bruch{- sin(x)}{cos(x)^2}
[/mm]
Nun substituiere ich cos x (da die Integration dann gerade das -sin(x) liefert). Das - sin(x) ersetze ich mit dz.
Da hätt ich dann dastehen:
[mm] \integral \bruch{dz}{z^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{ \bruch{1}{3} z^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{ \bruch{1}{3} (cos x)^3}
[/mm]
War das so okay? Wenn ich das richtig sehe, ist es bei dem Verfahren wichtig, dass diese Gleichung dz/dx ... = ... <=> dz ... = ... erfüllt wird, damit man dann einen Teil der Funktion mit dz ersetzen kann.
LG,
Leader.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:16 Di 10.07.2007 | | Autor: | Zaed |
Hallo Leader, das ist leider auch nicht ganz richtig!
> Hallo Zaed, vielen Dank für deine umfassende Antwort.
>
>
> Also dann will ich mich mal an der Aufgabe [mm]\integral{ \bruch{sin(x)}{cos(x)^2} dx}[/mm]
> probieren.
>
>
> Im Zähler zieh ich das Minus heraus, was dann den Vorteil
> hat, dass dz/dx = -sin(x) <=> dz = -sin(x) gilt:
>
> = - [mm]\integral \bruch{- sin(x)}{cos(x)^2}[/mm]
>
> Nun substituiere ich cos x (da die Integration dann gerade
> das -sin(x) liefert). Das - sin(x) ersetze ich mit dz.
>
soweit fast OK, aber der kleine Satz der hier unten steht ist nicht ganz richtig... die Ableitung von cos(x) liefert -sin(x)dx, da du dz/dx betrachtest, d.h. du leitest z(x) nach x ab.... du ersetzt also das -sin(x)dx durch dz, nicht nur das -sin(x) - dann würde ja noch dx da stehen :D
Damit erhälst du ja deine Gleichung!
>
> Da hätt ich dann dastehen:
> [mm]\integral \bruch{dz}{z^2}[/mm]
>
das was jetzt kommt ist leider falsch. Leite deine Funktion zur Kontrolle einmal ab, dann kommst du nicht auf das erwünschte Ergebnis...
> = [mm]\bruch{1}{ \bruch{1}{3} z^3}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{ \bruch{1}{3} (cos x)^3}[/mm]
>
>
> War das so okay? Wenn ich das richtig sehe, ist es bei dem
> Verfahren wichtig, dass diese Gleichung dz/dx ... = ...
> <=> dz ... = ... erfüllt wird, damit man dann einen Teil
> der Funktion mit dz ersetzen kann.
>
schon, aber es geht, wie ich es in der Antwort schon erwähnte, auch andersrum (ich gebe dir nachher nochmal eine Aufgabe, wo du es andersrum machen solltest)
Wichtig ist auch, dass du bei einer SUbstitution immer aufpassen musst, es gibt NICHT die Standardsubstitution (zumindest in vielen Fällen).... Viele Wege führen hier zum Ziel, der eine leichter, der andere schwerer
> LG,
> Leader.
Wenn du die Funktion [mm] \bruch{1}{z^2} [/mm] integrieren willst, so muss deren Stammfunktion abgeleitet doch wieder die Funktion ergeben...
probiere das bitte nochmal
Die Substitution war ansonsten richtig...
mfG Zaed
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Di 10.07.2007 | | Autor: | Leader |
Okay, ich hab grad gemerkt, dass ich mir gestern Abend die Integration von [mm] 1/z^2 [/mm] etwas zu leicht gemacht habe.
[mm] \integral 1/z^2 [/mm] dz = [mm] \integral z^{-2} [/mm] = [mm] \integral [/mm] -1 [mm] z^{-1}
[/mm]
Das ergibt dann also [mm] \bruch{-1}{z}
[/mm]
Jetzt resubstituieren, ergibt [mm] \bruch{-1}{ cos x }
[/mm]
Ich hab dann mal mittels der Quotientenregel die erste Ableitung davon gebildet und erhielt auch wieder [mm] \bruch{ sin x}{(cos x)^2} [/mm] :)
mfg,
Leader.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Di 10.07.2007 | | Autor: | Zaed |
soweit OK! Aber hast du nicht das Minus vergessen, was du zu Beginn ausgeklammert hast? Dann erhälst du die 100%ig korrekte Stammfunktion, eventuell solltest du die additive Konstante c noch anhängen, falls nach der Gesamtheit der Lösung gefragt ist :D
mfG Zaed
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