Frage zu den Quantoren < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wenn wir sowas hier haben:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \exists [/mm] y [mm] \exists [/mm] z : z*y=x
x,y und z sind in [mm] \IQ
[/mm]
Dieser Allquantor [mm] \forall [/mm] soll ja bedeuten, "es gibt für jedes x bzw. für alle x gilt.." , das bedeutet, x ist beliebig, das verstehe ich noch, da kann man zum Beispiel x = a [mm] \in \IQ [/mm] nehmen.
Aber jetzt bei den Existenzquantoren: Das bedeutet ja, es existiert MINDESTENS ein y und MINDESTENS ein z ( hab gehört, Mathematiker mögen dieses "mindestens" nicht so sehr, in der Informatik ist es aber wohl egal :P)
Das bedeutet ja, dass wenn ich zum Beispiel y= 2 und z = 4 nehme, dass vielleicht für diese konkreten Belegungen von y und z "x*y=z" nicht erfüllt ist, aber vielleicht für andere Belegungen von y und z.
Ist das so ? Sagen wir mal, y = 2 und z = 4 gehen, also die Aussage ist wahr, bin ich dann fertig mit dem Beweis, dass es eine wahre AUssage ist?
Vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 So 13.11.2016 | | Autor: | chrisno |
> Hallo,
> wenn wir sowas hier haben:
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> [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y [mm]\exists[/mm] z : z*y=x
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> x,y und z sind in [mm]\IQ[/mm]
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> Dieser Allquantor [mm]\forall[/mm] soll ja bedeuten, "es gibt für
> jedes x bzw. für alle x gilt.." , das bedeutet, x ist
> beliebig, das verstehe ich noch, da kann man zum Beispiel x
> = a [mm]\in \IQ[/mm] nehmen.
Aufpassen: "x ist beliebig" kann missverstanden werden.
Du musst einen Beweis führen, der sicherstellt, dass jedes erlaubte x berücksichtigt wird.
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> Aber jetzt bei den Existenzquantoren: Das bedeutet ja, es
> existiert MINDESTENS ein y und MINDESTENS ein z ( hab
> gehört, Mathematiker mögen dieses "mindestens" nicht so
> sehr, in der Informatik ist es aber wohl egal :P)
>
> Das bedeutet ja, dass wenn ich zum Beispiel y= 2 und z = 4
> nehme, dass vielleicht für diese konkreten Belegungen von
> y und z "x*y=z" nicht erfüllt ist, aber vielleicht für
> andere Belegungen von y und z.
> Ist das so ? Sagen wir mal, y = 2 und z = 4 gehen, also
> die Aussage ist wahr, bin ich dann fertig mit dem Beweis,
> dass es eine wahre AUssage ist?
Damit hast Du den Einzelfall für x = 8 bewiesen. Das ist aber nur ein x von den wirklich vielen. Auf diese Weise wirst Du in endlicher Zeit nicht fertig.
Also: Du musst für jedes x aus der Menge zeigen, dass es ein passendes y und z gibt. Da y und z für jedes x anders ausfallen können, musst Du also schaffen ein Argument zu finden, dass egal, welches x es gerade ist, es dennoch dieses y und z gibt. Eine Möglichkeit ist ein konstruktiver Beweis. In dem Beispiel kommt es darauf an, wie [mm] $\IQ$ [/mm] definiert wurde und welche Sätze schon da sind.
Meine Idee wäre:
Sei x aus [mm] $\IQ$. [/mm] Dann ist auch y = x aus [mm] $\IQ$. [/mm] Weiterhin ist z = 1 aus [mm] $\IQ$ [/mm] (das ich hier konkret werden kann, liegt am Beispiel). Damit sind y und z aus [mm] $\IQ$ [/mm] angegeben, so dass x = y * z.
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> Vielen Dank im Voraus
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Hallo nochmal,
$ [mm] \forall [/mm] $ x $ [mm] \exists [/mm] $ y $ [mm] \exists [/mm] $ z : z*y=x
x,y und z sind in $ [mm] \IQ [/mm] $
Ich dachte immer, dass man ein beliebiges aber festes x wählen muss ( weil Allquantor) und y und z müssen "abhängig" von x sein ( weil Existenzquantor)
Sei also x = a [mm] \in \IQ [/mm]
Dann ist z*y = a
Dann ist z = a/y
und y = a/z
Das heißt, wenn man z = a/y und y = a/z wählt, dann hat man bewiesen, dass die Aussage richtig ist.
Das bedeutet gleichzeitig auch, dass y und z nicht 0 sein dürfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 13.11.2016 | | Autor: | chrisno |
> Hallo nochmal,
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> [mm]\forall[/mm] x [mm]\exists[/mm] y [mm]\exists[/mm] z : z*y=x
> x,y und z sind in [mm]\IQ[/mm]
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> Ich dachte immer, dass man ein beliebiges aber festes x
> wählen muss ( weil Allquantor)
Das "festes" gehört schon zum Beweis, falls man es braucht.
"beliebig" heißt, dass man eines als Vertreter für alle nimmt, aber nicht, dass man nur ein bestimmtes nehmen kann.
Am einfachsten ist, beim Text zu bleiben: "Für alle x aus ..."
> und y und z müssen "abhängig" von x sein ( weil Existenzquantor)
Es ist meistens der Fall, dass sie abhängig von x gewählt werden.
(Für diese Reihenfolge der Quantoren.)
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> Sei also x = a [mm]\in \IQ[/mm]
Wenn DU willst, ich meine dass es nur ein Buchstabe mehr ist.
Sei x [mm]\in \IQ[/mm] reicht mir.
>
> Dann ist z*y = a
> Dann ist z = a/y
Falls Du Brüche bilden darfst oder kannst. Das musst Du wissen, was schon gezeigt ist.
> und y = a/z
S.o.
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> Das heißt, wenn man z = a/y und y = a/z wählt, dann hat
> man bewiesen, dass die Aussage richtig ist.
Beides gleichzeitig ist Mist.
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> Das bedeutet gleichzeitig auch, dass y und z nicht 0 sein
> dürfen.
Es gibt aber einen Fall, da muss eines von beiden 0 sein.
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> Es gibt aber einen Fall, da muss eines von beiden 0 sein.
Nämlich für x = 0 , oder ? Denn es soll ja für alle x [mm] \in \IQ [/mm] gelten.
Wie macht man das am besten also hier? Wir wissen, dass y und z in Abhängigkeit von x gewählt werden müssen. Aber gleichzeitig ist wohl Mist, wo ist also der Trick hier?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 So 13.11.2016 | | Autor: | chrisno |
Sei z = 1...
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Darauf wäre ich nie gekommen, weil ich immer diesen Tunnelblick habe. Also muss z doch nicht abhängig von x sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 So 13.11.2016 | | Autor: | chrisno |
> Darauf wäre ich nie gekommen, weil ich immer diesen
> Tunnelblick habe. Also muss z doch nicht abhängig von x
> sein?
Ja. s.o. "Es ist meistens der Fall, dass sie abhängig von x gewählt werden.", aber eben nicht immer.
Wenn es ohne Abhängigkeit geht, wird es meistens einfacher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:51 So 13.11.2016 | | Autor: | pc_doctor |
Ah okay, vielen Dank für deine Antworten. Habe es nun gecheckt.
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