Frage zu einem Beweisschritt < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Diary |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich schau mir gerade einen Beweis zum Maximumprinzip für holomorphe Funktionen an und darin verstehe ich einen Schritt nicht. f ist holomorph auf [mm] B(z_{0},r_{0}) [/mm] und [mm] 0
[mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+r*e^{i*t}) dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(z_{0}) dt} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (Diese Folgerung ist mir nicht klar)
[mm] f(z_{0}+r*e^{i*t})=f(z_{0}) \forall [/mm] r mit [mm] 0
Als Begründung steht da, dass dies aus der Stetigkeit von |f| folgt. Nur kann ich mir das so nicht klar machen.
Falls ihr mit dem Ausschnitt aus dem Beweis nichts anfangen könnt, kann ich ihn auch ganz verlinken, ich weiß aber nicht, ob ich das darf, drum lass ich es erstmal.
Vielen Dank für jede Hilfe!
Liebe Grüße,
Diary
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:05 Do 18.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen,
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> ich schau mir gerade einen Beweis zum Maximumprinzip für
> holomorphe Funktionen an und darin verstehe ich einen
> Schritt nicht. f ist holomorph auf [mm]B(z_{0},r_{0})[/mm] und
> [mm]0
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> [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+r*e^{i*t}) dt}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2\pi}*\integral_{0}^{2\pi}{f(z_{0}) dt}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] (Diese Folgerung ist mir nicht klar)
> [mm]f(z_{0}+r*e^{i*t})=f(z_{0}) \forall[/mm] r mit [mm]0
> [mm]\forall t\in\IR[/mm]
Da hast du aber ein paar Details weggelassen. Zum Beispiel dass $|f|$ auf [mm] $\overline{B(z_0, r_0)}$ [/mm] das Maximum in [mm] $z_0$ [/mm] annimmt.
> Als Begründung steht da, dass dies aus der Stetigkeit von
> |f| folgt. Nur kann ich mir das so nicht klar machen.
Es gilt doch [mm] $\left| \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0) dz\right| [/mm] = [mm] \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0) [/mm] |dz$ (da konstant) und [mm] $\left| \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + r e^{i t}) dt \right| \le \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 [/mm] + r [mm] e^{i t})| [/mm] dt [mm] \le \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0)| [/mm] dt$, da $|f|$ in [mm] $z_0$ [/mm] ein Maximum annimmt.
Damit hast du also [mm] $\int_0^{2\pi} |f(z_0)| [/mm] dt [mm] \le \int_0^{2\pi} |f(z_0 [/mm] + r [mm] e^{i t})| [/mm] dt [mm] \le \int_0^{2\pi} |f(z_0)| [/mm] dt$, also [mm] $\int_0^{2\pi} |f(z_0)| [/mm] dt = [mm] \int_0^{2\pi} |f(z_0 [/mm] + r [mm] e^{i t})|$.
[/mm]
Da jedoch $0 [mm] \le |f(z_0 [/mm] + r [mm] e^{i t})| \le |f(z_0)|$ [/mm] fuer alle $t$ gilt, folgt daraus, dass [mm] $|f(z_0 [/mm] + r [mm] e^{i t})| [/mm] = [mm] |f(z_0)|$ [/mm] fast ueberall, bzw. (da $|f|$ stetig ist) sogar dass es fuer alle $t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$ [/mm] gilt.
Soweit ok?
Da $r$ beliebig war folgt dass $|f|$ auf [mm] $B(z_0, r_0)$ [/mm] konstant ist, und man kann leicht zeigen dass daraus bereits folgt, dass $f$ dort konstant ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:45 Do 18.11.2010 | | Autor: | Diary |
Herzlichen Dank, Felix! Das hast du schön erklärt. Ich hatte übersehen, dass angenommen wurde: |f| hat in [mm] x_{0} [/mm] das Maximum auf [mm] \overline {B(x_{0},r_{0})}. [/mm]
Liebe Grüße,
Diary
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