Frage zu einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Souljha |
| Aufgabe | Sei x>0 eine vorgegebene positive reelle Zahl. Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n die Ungleichung:
[mm] (1+x)^{n}\ge1+n*x [/mm] |
Hi Leute,
ich habe eine Frage zur folgenden oben genannten Aufgabe.
Im ersten Schritt erhalte ich für n=1;
1+x=1+x
Im zweiten Schritt erhalte ich folgende Werte:
n=n+1
[mm] (1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)*x
[/mm]
Soweit so gut, nun gehts an den dritten Schritt.
Habe es folgendermaßen vereinfacht:
[mm] (1+x)^{n}*(1+x)^{1}\ge1+(n+1)*x
[/mm]
[mm] (1+x)^{n}*(1+x)\ge1+(n+1)*x
[/mm]
Nun hat mein Prof folgendes gemacht und ich hab keine Ahnung was er getan hat, vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen:
Ich schreibe mal seine Rechenschritte auf:
[mm] (1+x)^{n}*(1+x)\ge(1+n*x)(1+x)
[/mm]
[mm] 1+(n+1)*x+nx²\ge1+(n+1)*x
[/mm]
Wie kann der einfach das n aus der Potenz in die Basis schreiben? Das übersteigt meinen Horizont oder ist es nur Zufall und er hat sich das n irgendwo anderst ausm Ärmel gezaubert?
Schonmal vielen Dank für eure Mühe.
Grüße,
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Sax |
Hi, Es handelt sich um die sog. "Bernoullische Ungleichung" (die übrigens für alle x>-1, nicht nur für x>0 gilt).
Der Beweis ist ein Induktionsbeweis.
Der "erste Schritt" ist der Induktionsanfang.
Der "zweite Schritt" ist die zu beweisende Ungleichung für die Zahl n+1 (wobei gemäß Induktionsmethode die Behauptung als schon bewiesen angenommen werden darf für alle Zahlen n=1 (I.Anfang), n=2, n=3, ... n=n).
Der "dritte Schritt" besteht darin, die im zweiten Schritt aufgeschriebene Behauptung durch Äquivalenzumformungen so umzuschreiben, dass eine (unter der gemachten Induktionsvoraussetzung) offensichtlich wahre Aussage entsteht.
Im konkreten Fall sieht das so aus :
>
> [mm](1+x)^{n}*(1+x)^{1}\ge1+(n+1)*x[/mm]
>
> [mm](1+x)^{n}*(1+x)\ge1+(n+1)*x[/mm]
>
ok. Zur Erinnerung : diese Ungleichung ist noch zu beweisen !
> Nun hat mein Prof folgendes gemacht und ich hab keine
> Ahnung was er getan hat, vielleicht kann mir ja jemand
> weiterhelfen:
Hinweis : Er beginnt auf der linken Seite der Ungleichung und formt um, bis seine Abschätzung für die rechte Seite der Ungleichung passt.
> Ich schreibe mal seine Rechenschritte auf:
>
> [mm](1+x)^{n}*(1+x)\ge(1+n*x)(1+x)[/mm]
> [mm]1+(n+1)*x+nx²\ge1+(n+1)*x[/mm]
>
>
Das erste [mm] \ge [/mm] kann er wegen der gemachten Iduktionsvoraussetzung (es ist die I.Vor.) so benutzen,
dann multipliziert er die Klammern aus (beim Übergang zwischen den beiden Zeilen sollte ein "=" stehen) :
(1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + [mm] nx^2 [/mm] = 1 + (n+1)x + [mm] nx^2
[/mm]
dann benutzt er [mm] nx^2 \ge [/mm] 0 , so dass das Weglassen dieses Terms das Ungleichheitszeichen rechtfertigt.
Wenn du das alles verstanden hast, denk mal über folgende Frage nach :
Wo wird im Beweis die Voraussetzung "x > -1" benutzt ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Souljha |
Vielen Dank für deine Antwort
> >
> > [mm](1+x)^{n}*(1+x)^{1}\ge1+(n+1)*x[/mm]
> >
> > [mm](1+x)^{n}*(1+x)\ge1+(n+1)*x[/mm]
> >
>
> ok. Zur Erinnerung : diese Ungleichung ist noch zu beweisen
> !
>
> > Nun hat mein Prof folgendes gemacht und ich hab keine
> > Ahnung was er getan hat, vielleicht kann mir ja jemand
> > weiterhelfen:
>
> Hinweis : Er beginnt auf der linken Seite der Ungleichung
> und formt um, bis seine Abschätzung für die rechte Seite
> der Ungleichung passt.
>
>
Dazu habe ich eine Frage, wie wurde das [mm] (1+x)^{n}*(1+x) [/mm] auf der linken Seite des Terms umgeformt?
Die rechte seite des Terms habe ich dank deiner Hilfe verstanden.
Grüße,
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Souljha |
Ok danke, hatte bei Google mal Bernoullische Ungleichung aus deinem Artikel eingegeben und meine Antwort auf die Frage erhalten
Über deine Verständnisfrage muss ich noch ein wenig nachdenken. :)
Grüße,
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
die linke Seite des Terms ist doch einfach die linke Seite der zu beweisenden Ungleichung.
[mm] (x+1)^{n+1} [/mm] = [mm] (x+1)^n*(x+1) [/mm] nach den Regeln der Potenzrechnung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Souljha |
Und weiter gehts wohl. Ich steh aufm Schlauch. Ich kapiers nicht, also ich mein ich hab auch schon andere Induktionsaufgaben gelöst, aber hier weis ich einfach nicht weiter.
Ich möchte mal versuchen, die Lösung des Profs wegzulassen und meinen Gedankengang aufschreiben. Vielleicht verstehe ich es so besser:
Also nochmal die Aufgabe zur Erinnerung:
[mm] (1+x)^n\ge1+n*x
[/mm]
Der zweite Schritt sieht so aus:
[mm] (1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)*x
[/mm]
Den dritten Schritt hatte ich so gerechnet:
[mm] (1+x)^{n+1}\ge1+x*n+x
[/mm]
[mm] (1+x)^n*(1+x)\ge1+x*n+x
[/mm]
So an der Stelle weis ich nicht mehr weiter und habe keine Ahnung was der Professor in seiner Lösung gerechnet hat.
Ich sollte wohl auch dazu sagen, dass ich bis vor 10 Minuten noch nie etwas von der bernoullischen Ungleichung gehört hatte und demzufolge nicht weis, ob und wie ich die anwenden muss.
Ich bin auf Antworten gespannt.
Schonmal vielen Dank an dich Sax.
Grüße,
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Und weiter gehts wohl. Ich steh aufm Schlauch. Ich kapiers
> nicht, also ich mein ich hab auch schon andere
> Induktionsaufgaben gelöst, aber hier weis ich einfach nicht
> weiter.
>
> Ich möchte mal versuchen, die Lösung des Profs wegzulassen
> und meinen Gedankengang aufschreiben. Vielleicht verstehe
> ich es so besser:
>
> Also nochmal die Aufgabe zur Erinnerung:
>
> [mm](1+x)^n\ge1+n*x[/mm]
>
>
> Der zweite Schritt sieht so aus:
>
> [mm](1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)*x[/mm]
hier gehst du schon falsch vor.
du musst hinschreiben
Induktionsvorraussetzung :
[mm](1+x)^n\ge1+n*x[/mm] ist richtig für n
Behauptung: die Ungl gilt dann uch für n+1
[mm](1+x)^{n+1}\ge1+(n+1)*x[/mm]
diese Behauptung willst du bzw. dein Prof beweisen, du formst sie nur um!
das geht bei Ungleichungen nicht, siehe unten. richtiges Vorgehen:
Da die Ungl:
[mm](1+x)^n\ge1+n*x[/mm] gilt, darf ich sie auch mit 1+x>0 (x>-1)
multiplizieren.
also ist richtig:
[mm](1+x)^n*(1+x)\ge(1+n*x)*(1+x) [/mm]
jetzt haben wir auf der linken Seite die eine Seite der behaupteten Ungleichung stehen, auf der rechten Seite noch nicht.
deshalb müssen wir mit der rechten Seite noch was tun!
1. ausrechnen, 2, danach vergrößern, dann sind wir bei der Behauptung angekommen! (und haben sie bewiesen.
Den eigentlichen Fehler machst du, indem du die Behauptung hinschreibst und damit rumrechnest.
Du musst ganz klar zeigen, wo und wie die Ind. Vors. eingeht.
(Bei Induktionen mit = also etwa Summenformeln kann man manchmal (schlechte Angewohnheit)
die Behauptung in lauter Schritten die Äquivalenzumformungen sind ;umformen, und dann auf links=rechts kommen.
Dabei müsste man eigentlich dann auch zeigen, dass man von hinten wieder nach vorn kommt. da da ja aber dann überall<=> stehen geht das ja.
So kann man i.A. mit Ungleichungen nicht umgehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 28.10.2007 | | Autor: | Souljha |
Hallo leduart,
vielen Dank für die ausführliche Hilfe, eine Verständnisfrage habe ich da allerdings noch:
Nehme ich das (1+x), womit ich auf der linken und rechten Seite der Ungleichung multipliziere aus der Aufgabenstellung? Weil es als Voraussetzung in der Aufgabenstellung heißt: "Sei x>0 (bzw. x>-1 eine reelle natürliche Zahl?
> Da die Ungl:
> [mm](1+x)^n\ge1+n*x[/mm] gilt, darf ich sie auch mit 1+x>0 (x>-1)
> multiplizieren.
> also ist richtig:
> [mm](1+x)^n*(1+x)\ge(1+n*x)*(1+x)[/mm]
> jetzt haben wir auf der linken Seite die eine Seite der
> behaupteten Ungleichung stehen, auf der rechten Seite noch
> nicht.
> deshalb müssen wir mit der rechten Seite noch was tun!
> 1. ausrechnen, 2, danach vergrößern, dann sind wir bei der
> Behauptung angekommen! (und haben sie bewiesen.
Ansonsten sieht mir alles recht schlüssig aus, soweit ich das behaupten kann. :) Ich danke dir und Sax wirklich sehr und wünsche euch noch einen schönen Sonntag.
Grüße,
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 28.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobias!
Mit der Voraussetzung $x \ > \ -1$ wissen wir, dass der Term $(1+x)_$ positiv ist, und wir die Ungleichung "ungestraft" mit diesem Term multiplizieren dürfen (d.h. das Ungleichheitszeichen kehrt sich nicht um).
Warum aber gerade mit $(1+x)_$ multiplizieren? Nun denn, wir wollen auf der linken Seite der Ungleichung [mm] $(1+x)^n$ [/mm] ein [mm] $(1+x)^{n+1}$ [/mm] machen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 So 28.10.2007 | | Autor: | Souljha |
Hallo Loddar
vielen Dank fürs Erklären auch dir wünsche ich einen schönen Sonntag.
lg,
Tobias
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